Forouhi–Bloomer modell

Forouhi-Bloomer modell. De reella (blå heldragna linjerna) och imaginära (orange streckade linjer) komponenterna av komplext brytningsindex plottas för modell med parametrarna

E_{g}=

1,3 eV,

A=

1,4910 eV ,

B=

5,2139 eV,

C=

8,6170 eV

^{2}

och

n_{\infty }=

1,5256. Dessa parametrar approximerar amorft kisel.

Forouhi –Bloomer-modellen är en matematisk formel för frekvensberoendet för det komplext värderade brytningsindexet . Modellen kan användas för att anpassa brytningsindexet för amorfa och kristallina halvledar- och dielektriska material vid energier nära och större än deras optiska bandgap . Spridningsrelationen bär namnen på Rahim Forouhi och Iris Bloomer, som skapade modellen och tolkade den fysiska betydelsen av dess parametrar . Modellen är afysisk på grund av dess felaktiga asymptotiska beteende och icke-hermitiska karaktär. Dessa brister inspirerade modifierade versioner av modellen såväl som utvecklingen av Tauc–Lorentz-modellen .

Matematisk formulering

Det komplexa brytningsindexet ges av

{\tilde {n}}(E)=n(E)+i\kappa (E)

var

$n$ är den verkliga komponenten av det komplexa brytningsindexet, vanligtvis kallat brytningsindex,
$\kappa$ är den imaginära komponenten av det komplexa brytningsindexet, vanligen kallat extinktionskoefficienten,
$E$ är fotonenergin (relaterad till vinkelfrekvensen med ${\displaystyle E=\hbar \omega } )$ .

De reella och imaginära komponenterna i brytningsindexet är relaterade till varandra genom Kramers-Kronig-relationerna . Forouhi och Bloomer härledde en formel för $\kappa (E)$ för amorfa material. Formeln och den kompletterande Kramers–Kronig-integralen ges av

\kappa (E)={\frac {A\left(E-E_{g}\right)^{2} }{E^{2}-BE+C}}

n(E)=n_ {\infty }+{\frac {1}{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\kappa (\xi )-\kappa _ {\infty }}{\xi -E}}d\xi

var

${g}}$ är bandgapet för materialet,
$A$ , $B$ , $C$ och $n_{\infty }$ är passande parametrar,
${\mathcal {P}}$ anger Cauchy-huvudvärdet ,
$\kappa _{\infty }=\lim _{E\rightarrow \infty }\kappa (E)=A$ .

$A$ , $B$ och $C$ är föremål för begränsningarna ${\displaystyle A>0} ,$ B $\displaystyle B>0}$ , ${\ displaystyle C>0}$ och $4C-B^{2}>0$ . Utvärdering av Kramers-Kronig-integralen,

n(E)=n_{\infty }+{\frac {B_{0}E+C_{0}}{E ^{2}-BE+C}}

var

$Q={\frac {1}{2}}{\sqrt {4C-B^{2}}}$ ,
$B_{0}={\frac {A}{Q}}\left(-{\frac {1}{ 2}}B^{2}+E_{g}B-E_{g}^{2}+C\höger)$ ,
$C_{0}={\frac {A}{Q}}\left({\frac {1}{2 }}B\left(E_{g}^{2}+C\right)-2E_{g}C\right)$ .

Forouhi–Bloomer-modellen för kristallina material liknar den för amorfa material. Formlerna för $n(E)$ och $\kappa (E)$ ges av

n(E)=n_{\infty }+\sum _{j}{\frac {B_{0,j}E+C_{0,j}}{E^{2}-B_{j}E+C_{j}}}

.

\kappa (E)=\left(E-E_{g}\right)^{2} \sum _{j}{\frac {A_{j}}{E^{2}-B_{j}E+C_{j}}}

.

där alla variabler definieras på samma sätt som det amorfa fallet, men med unika värden för varje värde av summeringsindexet $j$ . Således är modellen för amorfa material ett specialfall av modellen för kristallina material när summan är över en enda term.

Se även