Flytta replikkluster

Replika-klusterrörelse i kondenserad materiens fysik hänvisar till en familj av icke-lokala klusteralgoritmer som används för att simulera spinnglasögon . Det är en förlängning av Swendsen-Wang-algoritmen genom att den genererar icke-triviala spinnkluster som informeras av interaktionstillstånden på två (eller flera) repliker istället för bara en. Den skiljer sig från replikbytesmetoden (eller parallell temperering), eftersom den utför en icke-lokal uppdatering på en bråkdel av platserna mellan de två replikerna vid samma temperatur, medan parallell temperering direkt utbyter alla snurr mellan två repliker vid olika temperatur. De två används dock ofta tillsammans för att uppnå toppmodern effektivitet vid simulering av spinglasmodeller.

Chayes-Matcha-Redner representationen

Chayes -Matcha-Redner (CMR)-representationen är en grafisk representation av Ising-spinglaset som utökar standard- FK-representationen . Den är baserad på observationen att den totala Hamiltonian av två oberoende Ising-repliker α och β,

$H=-\sum _{<ij>}J_{ij}{\big (} \sigma _{i}^{\alpha }\sigma _{j}^{\alpha }+\sigma _{i}^{\beta }\sigma _{j}^{\beta }{\big )} ,$

kan skrivas som Hamiltonian för en 4- tillståndsklockmodell . För att se detta definierar vi följande mappning

$(\sigma ^{\alpha },\sigma ^{\beta })\to \theta :\quad {\big \{}(+1,+1),(+1 ,-1),(-1,-1),(-1,+1){\big \}}\mapsto {\big \{}0,{\frac {\pi }{2}},\pi ,{\frac {3\pi }{2}}{\big \}},$

där $\theta$ är orienteringen för 4-tillståndsklockan, då kan den totala Hamiltonian representeras som

$H=-2J_{ij}\sum _{<ij>}\cos(\theta _{j}-\theta _{i}).$

I den grafiska representationen av denna modell finns det två typer av bindningar som kan vara öppna , kallade blå och röda . För att generera bindningarna på gittret, införs följande regler:

• Om ${\displaystyle J_{ij}\cos(\theta _{j}-\theta _{i})=1} ,$ eller när interaktionerna på kanten $(i,j)$ är uppfyllda på båda replikerna, då är en blå bindning öppen med sannolikhet $p_{\text{blue}}=1- e^{-4\beta }$ .
• Om ${\displaystyle J_{ij}\cos(\theta _{j}-\theta _{i})=0} ,$ eller när interaktionen på kanten $(i,j)$ är uppfylld i exakt en replik, då är en röd bindning öppen med sannolikhet $p_{\text{red}}=1- e^{-2\beta }$ .

Enligt dessa regler kan det kontrolleras att en cykel av öppna obligationer endast kan innehålla ett jämnt antal röda obligationer. En klunga bildad med blå bindningar kallas en blå klunga , och en superkluster bildad tillsammans med både blå och röda bindningar kallas en grå klunga .

När väl klustren har genererats, finns det två typer av icke-lokala uppdateringar som kan göras av klocktillstånden oberoende i klockklustren (och därmed spinntillstånden i båda replikerna). För det första, för varje blått kluster, kan vi vända (eller rotera $180^{\circ }$ ) klockan anger med någon godtycklig sannolikhet. Efter detta kan vi för varje grått kluster (blå kluster kopplade med röda bindningar) rotera alla klocktillstånd samtidigt med en slumpmässig vinkel. Det kan visas att båda uppdateringarna överensstämmer med reglerna för obligationsbildning och uppfyller en detaljerad balans . Därför kommer en algoritm baserad på denna CMR-representation att vara korrekt när den används i kombination med andra ergotiska algoritmer. Algoritmen är dock inte nödvändigtvis effektiv, eftersom ett gigantiskt grått kluster tenderar att spänna över hela gittret vid tillräckligt låga temperaturer.

Houdayer kluster flytta

Houdayer-klusterförflyttningen är en enklare klusteralgoritm baserad på en webbplatsperkolationsprocess på webbplatser med negativa spinnöverlappningar. Den upptäcktes av Jerome Houdayer 2001. För två oberoende Ising-repliker kan vi definiera spinnöverlappningen som

$q_{i}=\sigma _{i}^{\alpha }\sigma _{j}^{\beta },$

och ett kluster bildas genom att slumpmässigt välja en plats och perkolera genom de intilliggande platserna med $q=-1$ (med ett perkolationsförhållande på 1) tills det maximala klustret bildas. Snurren i klustret byts sedan ut mellan de två replikerna. Det kan visas att utbytesuppdateringen är isoenergetisk , vilket innebär att den totala energin sparas i uppdateringen. Detta ger ett acceptansförhållande på 1, beräknat från Metropolis-Hastings -regeln. Uppdateringen är med andra ord avvisningsfri.

Effektiviteten hos denna algoritm är mycket känslig för platsperkolationströskeln för det underliggande gittret. Om perkolationströskeln är för liten, kommer sannolikt ett gigantiskt kluster att sträcka sig över hela gittret, vilket resulterar i den triviala uppdateringen av utbyte av nästan alla snurr mellan replikerna. Detta är anledningen till att den ursprungliga algoritmen bara fungerar bra i lågdimensionella inställningar (där platsperkolationsförhållandet är tillräckligt högt). För att effektivt utöka denna algoritm till högre dimensioner måste man utföra vissa algoritmiska ingrepp. Till exempel kan man begränsa klustrets rörelser till lågtemperaturkopior där man förväntar sig att endast ett fåtal antal negativa överlappande platser ska dyka upp (så att algoritmen inte hyperperkolerar). Dessutom kan man utföra en global spin-flip i en av de två replikerna när antalet negativa överlappningsställen överstiger halva gitterstorleken, för att ytterligare undertrycka perkolationsprocessen.