Fluktuationsröntgenspridning

Ett fluktuationsspridningsexperiment samlar in en serie röntgendiffraktionsbilder av flera proteiner (eller andra partiklar) i lösning. En ultraljus röntgenlaser ger snabba ögonblicksbilder, som innehåller funktioner som är vinkelmässigt icke-isotropa (fläckar), vilket i slutändan resulterar i en detaljerad förståelse av provets struktur.

Fluktuationsröntgenspridning ( FXS ) är en röntgenspridningsteknik som liknar röntgenspridning med liten vinkel (SAXS), men utförs med röntgenexponeringar under provrotationsdiffusionstider . Denna teknik, idealiskt utförd med en ultraljus röntgenljuskälla, såsom en fri elektronlaser , resulterar i data som innehåller betydligt mer information jämfört med traditionella spridningsmetoder.

FXS kan användas för bestämning av (stora) makromolekylära strukturer, men har även funnit tillämpningar vid karakterisering av metalliska nanostrukturer, magnetiska domäner och kolloider.

Den mest allmänna inställningen av FXS är en situation där snabba diffraktionsbilder tas av modeller som under en lång tidsperiod genomgår en fullständig 3D-rotation. En särskilt intressant underklass av FXS är 2D-fallet där provet kan ses som ett 2-dimensionellt system med partiklar som uppvisar slumpmässiga rotationer i planet. I det här fallet finns det en analytisk lösning som relaterar FXS-data till strukturen. I frånvaro av symmetribegränsningar finns ingen analytisk data-till-struktur-relation tillgänglig för 3D-fallet, även om olika iterativa procedurer har utvecklats.

Översikt

Ett FXS-experiment består av att samla in ett stort antal röntgenbilder av prover i en annan slumpmässig konfiguration. Genom att beräkna vinkelintensitetskorrelationer för varje bild och medelvärdesberäkning av dessa över alla ögonblicksbilder, kan den genomsnittliga 2-punktskorrelationsfunktionen utsättas för en finit Legendre-transform , vilket resulterar i en samling så kallade B _l (q,q') kurvor, där l är Legendre-polynomordningen och q / q' momentumöverföringen eller inversupplösningen av datan.

Matematisk bakgrund

En visuell representation av matematiska relationer i fluktuationsröntgenspridning illustrerar sambandet mellan elektrondensitet, spridningsamplitud, diffrakterade intensiteter och vinkelkorrelationsdata. Bild modifierad från

Givet en partikel med densitetsfördelning ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )} ,$ erhålls den associerade tredimensionella komplexa strukturfaktorn $A(\mathbf {q} )$ via en Fouriertransform

$A(\mathbf {q} )=\int _{V}\rho (\mathbf {r} )\exp[ i\mathbf {qr} ]d\mathbf {r}$

Intensitetsfunktionen som motsvarar den komplexa strukturfaktorn är lika med

$I(\mathbf {q} )=A(\mathbf {q} )A(\mathbf {q} )^{*}$

där $^{*}$ anger komplex konjugation. Genom att uttrycka $I(\mathbf {q} )$ som en sfärisk övertonsserie erhålls

$I(\mathbf {q} )=\summa _{l=0 }^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}I_{lm}(q)Y_{l}^{m}(\theta _{q},\phi _{q})$

Den genomsnittliga vinkelintensitetskorrelationen som erhålls från många diffraktionsbilder $J_{k}(q,\phi _{q})$ då

$C_{2}(q,q',\Delta \phi _{q})={\frac {1}{2\pi N}}\summa _{Nimages}\int _{0} ^{2\pi }J_{k}(q,\phi _{q})J_{k}(q',\phi _{q}+\Delta \phi _{q})d\phi _{q }$

Det kan man visa

$C_{2}(q,q',\Delta \phi _{q})=\summa _{l}B_{l}(q,q') P_{l}(\cos(\theta _{q})\cos(\theta _{q'})+\sin(\theta _{q})\sin(\theta _{q'})\cos [\Delta \phi _{q}])$

var

$\theta _{q}=\arccos({\frac {q\lambda }{4\pi }})$

med $\lambda$ lika med den använda röntgenvåglängden, och

$B_{l}(q,q')=\summa _{m=- l}^{l}I_{lm}(q)I_{lm}^{*}(q')$

$P_{l}(\cdot )$ är en legendrepolynom . Mängden ${\displaystyle B_{l}(q,q')}-$ kurvor kan erhållas via en finit Legendre-transform från den observerade autokorrelationen $C_{2}(q,q',\Delta \phi _{q})$ och är därmed direkt relaterade till strukturen $\rho (\mathbf {r} )$ via ovanstående uttryck.

Ytterligare relationer kan erhållas genom att erhålla den reella rymdautokorrelationen $\gamma (\mathbf {r} )$ för densiteten:

$\gamma (\mathbf {r} )=\int _{V}\rho (u)\rho (\mathbf {r } -\mathbf {u} )d\mathbf {u}$

En efterföljande expansion av $\gamma (\mathbf {r} )$ i en sfärisk övertonsserie, resulterar i radiella expansionskoefficienter som är relaterade till intensitetsfunktionen via en Hankeltransform

$I_{lm}(q)=\int _{0}^{\infty }\gamma _ {lm}(r)j_{l}(qr)r^{2}dr$

En kortfattad översikt över dessa relationer har publicerats på annat håll

Grundläggande relationer

En generaliserad Guinier-lag som beskriver datas lågupplösningsbeteende kan härledas från ovanstående uttryck:

$\log B_{l}(q)-2l\log q\approx \ log B_{l}^{*}-{\frac {2q^{2}R_{l}^{2}}{2l+3}}$

Värden för $R_{l}$$\displaystyle B_{l}^{*}}$ och kan erhållas från minsta kvadratanalyser av lågupplösta data.

Bortfallet av data vid högre upplösning styrs av Porods lagar. Det kan visas att Porod-lagarna som härleds för SAXS/WAXS-data gäller här också, vilket i slutändan resulterar i:

$B_{l}(q)\propto q^{-8}$

för partiklar med väldefinierade gränssnitt.

Strukturbestämning från FXS-data

För närvarande finns det tre vägar för att bestämma molekylstruktur från dess motsvarande FXS-data.

Algebraisk fasning

Genom att anta en specifik symmetrisk konfiguration av den slutliga modellen, kan relationer mellan expansionskoefficienter som beskriver spridningsmönstret för de underliggande arterna utnyttjas för att bestämma ett diffraktionsmönster som överensstämmer med mätkorrelationsdata. Detta tillvägagångssätt har visat sig vara genomförbart för icosaedriska och spiralformade modeller.

Omvänd Monte Carlo

Genom att representera den struktur som ska bestämmas som en sammansättning av oberoende spridningsvoxlar, omvandlas strukturbestämning från FXS-data till ett globalt optimeringsproblem och kan lösas med hjälp av simulerad glödgning.

Flerskiktad iterativ fasning

Den flerskiktade iterativa fasningsalgoritmen (M-TIP) övervinner konvergensproblem som är förknippade med den omvända Monte Carlo-proceduren och eliminerar behovet av att använda eller härleda specifika symmetribegränsningar efter behov av den algebraiska metoden. M-TIP-algoritmen använder icke-triviala projektioner som modifierar en uppsättning teststrukturfaktorer $A(\mathbf {q} )$ så att motsvarande $B_{ l}(q,q')$ matchar observerade värden. Realrymdsbilden ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )} ,$ som erhålls genom en Fouriertransform av $A(\mathbf {q} )$ modifieras därefter till framtvinga symmetri, positivitet och kompaktitet. M-TIP-proceduren kan starta från en slumpmässig punkt och har goda konvergensegenskaper.