Finita gitterrepresentationsproblem
I matematik frågar det finita gitterrepresentationsproblemet , eller finita kongruensgitterproblemet , om varje finita gitter är isomorft till kongruensgittret i någon finit algebra .
Bakgrund
Ett gitter kallas algebraiskt om det är komplett och kompakt genererat . År 1963 bevisade Grätzer och Schmidt att varje algebraiskt gitter är isomorft till kongruensgittret hos någon algebra . Det finns alltså i huvudsak ingen begränsning på formen av ett kongruensgitter i en algebra. Det finita gitterrepresentationsproblemet frågar om detsamma gäller för finita gitter och finita algebror. Det vill säga, förekommer varje finit gitter som kongruensgittret för en finit algebra?
1980 visade Pálfy och Pudlák att detta problem är likvärdigt med problemet med att avgöra om varje finit gitter uppstår som ett intervall i undergruppens gitter av en finit grupp . För en översikt över det gruppteoretiska förhållningssättet till problemet, se Pálfy (1993) och Pálfy (2001).
Detta problem bör inte förväxlas med kongruensgitterproblemet .
Betydelse
Detta är bland de äldsta olösta problemen inom universell algebra . Tills det är besvarat är teorin om ändliga algebra ofullständig eftersom det, givet en ändlig algebra, är okänt om det a priori finns några begränsningar för formen på dess kongruensgitter.
Vidare läsning
- DeMeo, William J (2012). "Kongruensgitter av ändliga algebror". arXiv : 1204.4305 [ math.GR ].
-
Dowling, TA (februari 1973). "En klass av geometriska gitter baserade på ändliga grupper" . Journal of Combinatorial Theory, serie B . 14 (1): 61–86. doi : 10.1016/S0095-8956(73)80007-3 .
{{ citera journal }}: CS1 underhåll: datum och år ( länk )