Fermi–Dirac prime

I talteorin är ett Fermi-Dirac-primtal en primtalsstyrka vars exponent är en tvåpotens . Dessa siffror är namngivna från en analogi till Fermi-Dirac-statistik i fysik baserat på det faktum att varje heltal har en unik representation som en produkt av Fermi-Dirac-primtal utan upprepning. Varje element i sekvensen av Fermi-Dirac-primtal är det minsta talet som inte delar produkten av alla tidigare element. Srinivasa Ramanujan använde Fermi-Dirac-primtalen för att hitta det minsta antalet vars antal divisorer är en given potens av två.

Definition

Fermi–Dirac-primtal är en talföljd som erhålls genom att höja ett primtal till en exponent som är en potens av två . Det vill säga detta är formulärets nummer

$$p^{2^{k}}$$

där $p$ är ett primtal och $k$ är ett icke-negativt heltal . Dessa siffror bildar sekvensen:

2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, ...

De kan erhållas från primtalen genom upprepad kvadrering , och bildar den minsta uppsättningen av tal som inkluderar alla primtal och är stängd under kvadrering.

Ett annat sätt att definiera denna sekvens är att varje element är det minsta positiva heltal som inte delar produkten av alla föregående element i sekvensen.

Faktorisering

Analogt med hur varje positivt heltal har en unik faktorisering , dess representation som en produkt av primtal (med några av dessa tal upprepade), har varje positivt heltal också en unik faktorisering som en produkt av Fermi–Dirac-primtal, utan upprepningar tillåten. Till exempel,

$$2400=2\cdot 3\cdot 16\cdot 25.$$

Fermi-Dirac-primtalen är namngivna från en analogi till partikelfysik . Inom fysiken bosoner partiklar som lyder Bose–Einsteins statistik , där det är tillåtet för flera partiklar att vara i samma tillstånd samtidigt. Fermioner är partiklar som följer Fermi–Dirac-statistiken , som bara tillåter en enda partikel i varje tillstånd. På samma sätt, för de vanliga primtalen, kan flera kopior av samma primtal förekomma i samma primtalsfaktorisering, men faktoriseringar till en produkt av Fermi–Dirac-primtal tillåter endast att varje Fermi–Dirac-primtal visas en gång i produkten.

Övriga fastigheter

Fermi–Dirac-primtalen kan användas för att hitta det minsta talet som har exakt $n$ divisorer , i det fall att $n$ är en potens av två, $n=2 ^{k}$ . I det här fallet, som Srinivasa Ramanujan bevisade, är det minsta talet med $n=2^{k}$ divisorer produkten av $k$ minsta Fermi–Dirac-primtal. Dess divisorer är de tal som erhålls genom att multiplicera vilken delmängd som helst av dessa $k$ Fermi–Dirac-primtal. Till exempel erhålls det minsta talet med 1024 divisorer genom att multiplicera de första tio Fermi–Dirac-primtalen:

$$\cdot 7 11\cdot 13\ cdot 16\cdot 17.}$$

Enligt Cohens teori om infinitära divisorer är Fermi-Dirac-primtalen exakt de tal vars enda oändliga divisorer är 1 och själva talet.