Fenchel–Nielsen koordinater

I matematik är Fenchel–Nielsen-koordinater koordinater för Teichmüller-rymden som introducerats av Werner Fenchel och Jakob Nielsen .

Definition

Antag att S är en kompakt Riemann-yta av släktet g > 1. Fenchel–Nielsen-koordinaterna beror på ett val av 6 g − 6 kurvor på S , enligt följande. Riemann-ytan S kan delas upp i 2 g − 2 par byxor genom att skära längs 3 g − 3 osammanhängande enkla stängda kurvor. För var och en av dessa 3 g − 3 kurvor γ, välj en båge som korsar den som slutar i andra gränskomponenter av byxorna med gräns som innehåller γ.

Fenchel–Nielsen-koordinaterna för en punkt i Teichmüller-rummet i S består av 3 g − 3 positiva reella tal som kallas längderna och 3 g − 3 reella tal som kallas vridningarna . En punkt i Teichmüller-rymden representeras av en hyperbolisk metrik på S .

Längden på Fenchel–Nielsen-koordinaterna är längderna av geodetiska homotopiska längder till de 3 g − 3 disjunkta enkla stängda kurvorna.

Vridningarna av Fenchel–Nielsen-koordinaterna ges enligt följande. Det finns en vridning för var och en av de 3 g − 3 kurvorna som korsar en av de 3 g − 3 disjunkta enkla stängda kurvorna γ. Var och en av dessa är homotopisk med en kurva som består av 3 geodetiska segment, varav det mellersta följer geodetiken för γ. Vridningen är det (positiva eller negativa) avståndet som mittsegmentet färdas längs geodetiken av γ.

•    Fenchel, Werner ; Nielsen, Jakob (2003), Schmidt, Asmus L. (red.), Discontinuous groups of isometries in the hyperbolic plane , de Gruyter Studies in Mathematics, vol. 29, Berlin: Walter de Gruyter & Co., ISBN 978-3-11-017526-4 , MR 1958350
•    Hubbard, John Hamal (2006), Teichmüllers teori och tillämpningar på geometri, topologi och dynamik. Vol. 1 , Matrix Editions, Ithaca, NY, ISBN 978-0-9715766-2-9 , MR 2245223