Faktorsats

I algebra är faktorsatsen en sats som länkar faktorer och nollor i ett polynom . Det är ett specialfall av polynomrestsatsen .

Faktorsatsen säger att ett polynom $f(x)$ har en faktor $(x-\alpha )$ om och endast om $f (\alpha )=0$ (dvs $\alpha$ är en rot).

Faktorisering av polynom

Huvudartikel: Faktorisering av polynom

Två problem där faktorsatsen vanligtvis används är de att faktorisera ett polynom och hitta rötterna till en polynomekvation; det är en direkt följd av satsen att dessa problem i huvudsak är likvärdiga.

Faktorsatsen används också för att ta bort kända nollor från ett polynom samtidigt som alla okända nollor lämnas intakta, vilket ger ett polynom av lägre grad vars nollor kan vara lättare att hitta. Sammanfattningsvis är metoden följande:

1. Deducera kandidaten till noll $a$ för polynomet $f$ från dess ledande koefficient $a_{n}$ och konstantled $a_{0}$ . (Se Rational Root Theorem .)
2. Använd faktorsatsen för att dra slutsatsen att $(xa)$ är en faktor av $f(x)$ .
3. Beräkna polynomet ${\textstil g(x)={\frac {f(x)}{(xa)}}} ,$ till exempel med långdivision av polynom eller syntetisk division .
4. Dra slutsatsen att varje rot $x\neq a$ av $f(x)=0$ är en rot av $g(x)=0$ . Eftersom polynomgraden för $g$ är en mindre än den för $f$ , är det "enklare" att hitta de återstående nollorna genom att studera $g$ .

Fortsätter processen tills polynomet $f$ har faktoriserats fullständigt, varvid alla dess faktorer är irreducerbara på $\mathbb {R} [x]$ eller $\mathbb { C} [x]$ .

Exempel

Hitta faktorerna $x^{3}+7x^{2}+8x+2.$

Lösning : Låt $p(x)$ vara polynomet ovan

Konstant term = 2

Koefficient för $x^{3}=1$

Alla möjliga faktorer på 2 är $\pm 1$ och $\pm 2$ . Genom att ersätta $x=-1$ får vi:

$(-1)^{3}+7(-1)^{2}+8(-1)+2 =0$

Så, $(x-(-1))$ , dvs $(x+1)$ är en faktor av $p(x)$ . När vi dividerar $p(x)$ med $(x+1)$ får vi

Kvotient = $x^{2}+6x+2$

Därför är $p(x)=(x^{2}+6x+2)(x+1)$

Av dessa kan den andragradsfaktorn faktoriseras ytterligare med hjälp av den kvadratiska formeln , som ger som rötter till andragraden $-3\pm {\sqrt {7}}.$ Således är de tre irreducerbara faktorerna för det ursprungliga polynomet $x+1,$$x-(-3+{\sqrt {7}}),$ och $x-(-3-{\sqrt {7}}).$