Första ordningens andra ögonblicksmetod

Inom sannolikhetsteorin är metoden för första ordningens andra ögonblick (FOSM), även hänvisad till metoden för medelvärde första ordningens andra ögonblick (MVFOSM), en probabilistisk metod för att bestämma de stokastiska momenten för en funktion med slumpmässiga indatavariabler. Namnet är baserat på härledningen, som använder en första ordningens Taylor-serie och de första och andra momenten av indatavariablerna.

Approximation

Betrakta objektivfunktionen $g(x)$ , där invektorn $x$ är en realisering av den slumpmässiga vektorn $X$ med sannolikhetstäthetsfunktionen ${ \displaystyle f_{X}(x)}$ . Eftersom $X$ är slumpmässigt fördelad, är $g$ också slumpmässigt fördelad. Enligt FOSM-metoden uppskattas medelvärdet för ${\displaystyle g} med$

$\mu _{g}\approx g(\mu )$

Variansen för $g$ uppskattas med

$\sigma _{g}^{ 2}\approx \sum _{i=1}^{n}\summa _{j=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}{ \frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{j}}}\operatörsnamn {cov} \left(X_{i},X_{j}\right)$

där $n$ är längden/dimensionen av $x$ och ${\textstyle {\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i} }}}$ är den partiella derivatan av $g$ vid medelvektorn $\mu$ med avseende på den i -te ingången av $x$ . Mer exakta andra ordningens andra ögonblicksuppskattningar finns också tillgängliga

Härledning

Objektivfunktionen approximeras av en Taylor-serie vid medelvektorn $\mu$ .

$g(x)=g(\mu )+\summa _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}(x_{i}-\mu _{i})+{\frac {1}{2}}\summa _{i=1} ^{n}\summa _{j=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}g(\mu )}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}( x_{i}-\mu _{i})(x_{j}-\mu _{j})+\cdots$

Medelvärdet för $g$ ges av integralen

$\mu _{g}=E[g(x)]=\int _{-\ infty }^{\infty }g(x)f_{X}(x)\,dx$

Att infoga första ordningens Taylor-serien ger

${\begin{aligned}\mu _{g}&\approx \int _{-\infty }^{\infty }\left[g(\mu )+\sum _{i=1}^{ n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}(x_{i}-\mu _{i})\right]f_{X}(x)\,dx\ \&=\int _{-\infty }^{\infty }g(\mu )f_{X}(x)\,dx+\int _{-\infty }^{\infty }\sum _{i= 1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}(x_{i}-\mu _{i})f_{X}(x)\,dx \\&=g(\mu )\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)\,dx} _{1}+\summa _{i=1}^ {n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }(x_{i}-\mu _{ i})f_{X}(x)\,dx} _{0}\\&=g(\mu ).\end{aligned}}$

Variansen för $g$ ges av integralen

$\sigma _{g}^{2}=E\left([g(x)-\mu _{g}]^{2}\right)=\int _{-\infty }^{\ infty [g(x)-\mu _{g}]^{2}f_{X}(x)\,dx.$

Enligt beräkningsformeln för variansen kan denna skrivas som

$\sigma _{g}^{2}=E\left([g(x)-\mu _{g}]^{2}\right)=E\left(g(x)^{ 2}\right)-\mu _{g}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)^{2}f_{X}(x)\,dx-\ mu _{g}^{2}$

Att sätta in Taylor-serien ger

${\begin{aligned}\sigma _{g}^{2}&\approx \int _{-\infty }^{\infty }\left[g(\mu )+\sum _{i= 1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}(x_{i}-\mu _{i})\right]^{2}f_{X }(x)\,dx-\mu _{g}^{2}\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left\{g(\mu )^{2}+2g_ {\mu }\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}(x_{i}-\mu _{i}) +\left[\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}(x_{i}-\mu _{i}) \right]^{2}\right\}f_{X}(x)\,dx-\mu _{g}^{2}\\&=\int _{-\infty }^{\infty }g (\mu )^{2}f_{X}(x)\,dx+\int _{-\infty }^{\infty }2\,g_{\mu }\summa _{i=1}^{n }{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}(x_{i}-\mu _{i})f_{X}(x)\,dx\\&\quad {}+\int _{-\infty }^{\infty }\left[\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i} }}(x_{i}-\mu _{i})\höger]^{2}f_{X}(x)\,dx-\mu _{g}^{2}\\&=g_{\ mu }^{2}\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)\,dx} _{1}+2g_{\mu }\sum _{i=1 }^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }(x_{i}-\mu _{i})f_{X}(x)\,dx} _{0}\\&\quad {}+\int _{-\infty }^{\infty }\left[\sum _{i= 1}^{n}\summa _{j=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial g(\mu) }{\partial x_{j}}}(x_{i}-\mu _{i})(x_{j}-\mu _{j})\right]f_{X}(x)\,dx- \mu _{g}^{2}\\&=\underbrace {g(\mu )^{2}} _{\mu _{g}^{2}}+\summa _{i=1}^ {n}\summa _{j=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial g(\mu )}{\ partiell x_{j}}}\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }(x_{i}-\mu _{i})(x_{j}-\mu _{j})f (x)\,dx} _{\operatörsnamn {cov} \left(X_{i},X_{j}\right)}-\mu _{g}^{2}\\&=\summa _{i =1}^{n}\summa _{j=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{j}}}\operatörsnamn {cov} \left(X_{i},X_{j}\right).\end{aligned}}$

Tillvägagångssätt av högre ordning

Följande förkortningar introduceras.

${\begin{aligned}g_{\mu }&=g(\mu ),&g_{,i}&={\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_ {i}}},&g_{,ij}&={\frac {\partial ^{2}g(\mu )}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}},&\mu _{i,j}&=E\left[(x_{i}-\mu _{i})^{j}\right]\end{aligned}}$

I det följande antas inmatningarna av den slumpmässiga vektorn $X$ vara oberoende. Med tanke på även andra ordningens termer för Taylor-expansionen ges approximationen av medelvärdet av

$\mu _{g}\approx g_{\mu }+{\frac {1}{2}}\summa _{i=1}^{n}g_{,ii}\;\mu _{i,2}$

Den andra ordningens approximation av variansen ges av

${\begin{aligned}\sigma _{g}^{2 }\approx {}g_{\mu }^{2}&+\sum _{i=1}^{n}g_{,i}^{2}\,\mu _{i,2}+{\ frac {1}{4}}\summa _{i=1}^{n}g_{,ii}^{2}\,\mu _{i,4}+g_{\mu }\summa _{i =1}^{n}g_{,ii}\,\mu _{i,2}+\summa _{i=1}^{n}g_{,i}\,g_{,ii}\,\ mu _{i,3}\\&+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\summa _{j=i+1}^{n}g_{, ii}\,g_{,jj}\,\mu _{i,2}\,\mu _{j,2}+\summa _{i=1}^{n}\summa _{j=i+ 1}^{n}g_{,ij}^{2}\,\mu _{i,2}\,\mu _{j,2}-\mu _{g}^{2}\end{aligned }}$

Skevheten för $g}$$\mu _{g,3}$ kan bestämmas från det tredje centrala momentet , . När man endast betraktar linjära termer i Taylor-serien, men moment av högre ordning, approximeras det tredje centrala momentet med

$\mu _{g,3}\approx \sum _{i=1}^{n}g_{,i}^{ 3}\;\mu _{i,3}$

För andra ordningens approximationer av det tredje centrala momentet såväl som för härledning av alla högre ordningens approximationer, se Appendix D i Ref. Att ta hänsyn till de kvadratiska termerna i Taylor-serien och de tredje momenten för indatavariablerna kallas andra ordningens tredje-moment-metod. Men den fullständiga andra ordningens tillvägagångssätt för variansen (given ovan) inkluderar också fjärde ordningens moment av inmatningsparametrar, den fullständiga andra ordningens tillvägagångssätt för skevheten 6:e ordningens moment och den fullständiga andra ordningens tillvägagångssätt för kurtosen upp till 8:e ordningens ögonblick.

Praktisk applikation

Det finns flera exempel i litteraturen där FOSM-metoden används för att uppskatta den stokastiska fördelningen av bucklingslasten för axiellt komprimerade strukturer (se t.ex. Ref.). För strukturer som är mycket känsliga för avvikelser från den ideala strukturen (som cylindriska skal) har det föreslagits att använda FOSM-metoden som en designansats. Ofta kontrolleras tillämpligheten genom jämförelse med en Monte Carlo-simulering . Två omfattande tillämpningsexempel av den fullständiga andra ordningens metoden specifikt inriktad mot utmattningsspricktillväxt i en metalljärnvägsaxel diskuteras och kontrolleras genom jämförelse med en Monte Carlo-simulering i Ref.

I ingenjörspraktik ges den objektiva funktionen ofta inte som analytiskt uttryck, utan till exempel som ett resultat av en finita element- simulering. Sedan behöver derivatorna av den objektiva funktionen uppskattas med den centrala differensmetoden. Antalet utvärderingar av målfunktionen är lika med $2n+1$ . Beroende på antalet slumpvariabler kan detta fortfarande innebära ett betydligt mindre antal utvärderingar än att utföra en Monte Carlo-simulering. När FOSM-metoden används som designprocedur ska dock en nedre gräns uppskattas, vilket faktiskt inte ges av FOSM-metoden. Därför behöver en typ av fördelning antas för fördelningen av målfunktionen, med hänsyn tagen till det approximerade medelvärdet och standardavvikelsen.