Existentiellt sluten modell
I modellteorin , en gren av matematisk logik , generaliserar begreppet en existentiellt sluten modell (eller existentiellt fullständig modell ) av en teori föreställningarna om algebraiskt slutna fält (för teorin om fält ), verkliga slutna fält (för teorin om ordnade fält ). fields ), existentiellt slutna grupper (för teorin om grupper ), och täta linjära ordningar utan slutpunkter (för teorin om linjära ordningar).
Definition
En understruktur M av en struktur N sägs vara existentiellt sluten i (eller existentiellt komplett i ) om för varje kvantifierarfri formel φ( x 1 ,…, x n , y 1 , …, y n ) och alla element b 1 ,…, b n i M så att φ( x 1 ,…, x n , b 1 ,…, b n ) realiseras i N , sedan φ( x 1 ,…, x n , b 1 ,..., b n ) realiseras också i M . Med andra ord: Om det finns en tupel a 1 ,…, a n i N så att φ( a 1 ,…, a n , b 1 ,…, b n ) gäller i N , så finns en sådan tupel också i M . Detta begrepp betecknas ofta .
En modell M av en teori T kallas existentiellt sluten i T om den är existentiellt sluten i varje överbyggnad N som i sig är en modell av T . Mer allmänt kallas en struktur M existentiellt sluten i en klass K av strukturer (där den ingår som en medlem) om M är existentiellt sluten i varje överbyggnad N som själv är en medlem av K .
Den existentiella stängningen i K av en medlem M av K , när den existerar, är, upp till isomorfism , den minst existentiellt slutna överbyggnaden av M . Närmare bestämt är det vilken som helst förlängd sluten överbyggnad M ∗ av M så att för varje existentiellt sluten överbyggnad N av M , M ∗ är isomorf till en understruktur av N via en isomorfism som är identiteten på M .
Exempel
Låt σ = (+,×,0,1) vara signaturen för fält, dvs + och × är binära funktionssymboler och 0 och 1 är konstanta symboler. Låt K vara klassen av strukturer av signatur σ som är fält. Om A är ett delfält av B , så är A existentiellt stängt i B om och endast om varje system av polynom över A som har en lösning i B också har en lösning i A. Det följer att de existentiellt slutna medlemmarna av K är exakt de algebraiskt slutna fälten.
På liknande sätt i klassen av ordnade fält är de existentiellt slutna strukturerna de verkliga slutna fälten . I klassen linjära ordningar är de existentiellt slutna strukturerna de som är täta utan ändpunkter, medan den existentiella stängningen av en räkningsbar (inklusive tom ) linjär ordning är, upp till isomorfism, den räknebara täta totalordningen utan ändpunkter, nämligen ordningstypen av rationalerna .
- Chang, Chen Chung ; Keisler, H. Jerome (1990) [1973], Model Theory , Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (3:e upplagan), Elsevier, ISBN 978-0-444-88054-3
- Hodges, Wilfrid (1997), A shorter model theory , Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-58713-6