Exakt diagonalisering

Exakt diagonalisering (ED) är en numerisk teknik som används inom fysiken för att bestämma egentillstånden och energiegenvärdena för en kvant Hamiltonian . I denna teknik uttrycks en Hamiltonian för ett diskret, ändligt system i matrisform och diagonaliseras med hjälp av en dator. Exakt diagonalisering är endast möjlig för system med några tiotal partiklar, på grund av den exponentiella tillväxten av Hilbert-rymddimensionen med storleken på kvantsystemet. Det används ofta för att studera gittermodeller, inklusive Hubbard-modellen , Ising-modellen , Heisenberg-modellen , t - J - modellen och SYK-modellen .

Förväntningsvärden från exakt diagonalisering

Efter bestämning av egentillstånden $|n\rangle$ och energierna $\epsilon _{n}$ för en given Hamiltonian, exakt diagonalisering kan användas för att erhålla förväntade värden för observerbara. Till exempel, om ${\mathcal {O}}$ är en observerbar, är dess termiska förväntade värde

\langle {\mathcal {O}}\rangle ={\frac {1}{Z}}\sum _{n}e^{-\beta \epsilon _{n}}\langle n |{\mathcal {O}}|n\rangle ,

där $Z=\sum _{n}e^{-\beta \epsilon _{n}}$ är partitionsfunktionen . Om det observerbara kan skrivas ner i den initiala grunden för problemet, så kan denna summa utvärderas efter transformation till basen av egentillstånd.

Greens funktioner kan utvärderas på liknande sätt. Till exempel, den retarderade Greenens funktion $G^{R}(t)=-i\theta (t) \langle [A(t),B(0)]\rangle$ kan skrivas

G^{R}(t)=-{\frac {i\theta (t)}{Z}}\summa _{n,m}\left(e^{-\beta \epsilon _{n }}-e^{-\beta \epsilon _{m}}\right)\langle n|A(0)|m\rangle \langle m|B(0)|n\rangle e^{-i(\ epsilon _{m}-\epsilon _{n})t/\hbar }.

Exakt diagonalisering kan också användas för att bestämma tidsutvecklingen för ett system efter en släckning. Antag att systemet har förberetts i ett initialt tillstånd $|\psi \rangle$ , och sedan för tiden $t>0$ utvecklas under en ny Hamiltonian, ${\mathcal {H}}$ . Tillståndet vid tidpunkten $t$ är

|\psi (t)\rangle =\sum _{n}e^{-i\epsilon _{n}t/\hbar }\langle n|\psi (0)\rangle |n\rangle .

Minneskrav

Dimensionen av Hilbertrymden som beskriver ett kvantsystem skalar exponentiellt med systemstorleken. Tänk till exempel på ett system med $N$ -spinn lokaliserade på fasta gitterplatser. Dimensionen för basen på plats är 2, eftersom tillståndet för varje snurr kan beskrivas som en överlagring av spin-up och spin-down, betecknad $\left|\uparrow \right\rangle$ och $\left|\downarrow \right\rangle$ . Hela systemet har dimensionen $2^{N}$ , och Hamiltonian representerad som en matris har storleken $2^{N}\times 2^{N}$ . Detta innebär att beräkningstid och minneskrav skalas mycket ogynnsamt i exakt diagonalisering. I praktiken kan minneskraven minskas genom att dra fördel av problemets symmetri, införa bevarandelagar, arbeta med glesa matriser eller använda andra tekniker.

Naiva uppskattningar av minneskrav vid exakt diagonalisering av ett spin-½-system utfört på en dator. Det antas att Hamiltonian lagras som en matris av flyttaltal med dubbel precision .
Antal platser	Antal stater	Hamiltonsk storlek i minnet
4	16	2048 f.Kr
9	512	2 MB
16	65536	34 GB
25	33554432	9 PB
36	6.872e10	40 ZB

Jämförelse med andra tekniker

Exakt diagonalisering är användbar för att extrahera exakt information om ändliga system. Ofta studeras dock små system för att få insikt i oändliga gittersystem. Om det diagonaliserade systemet är för litet kommer dess egenskaper inte att återspegla systemets egenskaper i den termodynamiska gränsen , och simuleringen sägs lida av effekter av ändlig storlek.

Till skillnad från vissa andra exakta teoritekniker, såsom Auxiliary-field Monte Carlo , erhåller exakt diagonalisering Greens funktioner direkt i realtid, i motsats till imaginär tid . Till skillnad från i dessa andra tekniker behöver exakta diagonaliseringsresultat inte fortsättas numeriskt analytiskt . Detta är en fördel, eftersom numerisk analytisk fortsättning är ett illa ställt och svårt optimeringsproblem.

Ansökningar

Kan användas som en föroreningslösare för dynamiska medelfältsteoritekniker .

I kombination med skalning med ändlig storlek, uppskattning av grundtillståndsenergin och kritiska exponenter för 1D- transversal-field Ising-modellen .

Studerar olika egenskaper hos 2D Heisenberg-modellen i ett magnetfält, inklusive antiferromagnetism och spin-wave-hastighet.

Studerar Drude-vikten hos 2D Hubbard-modellen.

Studera out-of-time-order korrelationer (OTOCs) och scrambling i SYK-modellen.

Simulerar resonans röntgenspektra av starkt korrelerade material.

Genomföranden

Det finns många programvarupaket som implementerar exakt diagonalisering av kvant Hamiltonians. Dessa inkluderar QuSpin , ALPS , DoQo , EdLib , edrixs och många andra.

Generaliseringar

Exakta diagonaliseringsresultat från många små kluster kan kombineras för att få mer exakt information om system i den termodynamiska gränsen med hjälp av den numeriskt länkade klusterexpansionen.

Se även

Lanczos algoritm

externa länkar