Euklidisk slumpmässig matris

Inom matematiken definieras en N × N euklidisk slumpmatris  med hjälp av en godtycklig deterministisk funktion f ( r , r ′ ) och av N punkter { r _i } slumpmässigt fördelade i ett område V i det d - dimensionella euklidiska rummet . Elementet A _ij i matrisen är lika med f ( r _i , r _j ): A _ij = f ( r _i , r _j ).

Historia

Euklidiska slumpmässiga matriser introducerades först 1999. De studerade ett specialfall av funktioner f som endast beror på avstånden mellan punktparen: f ( r , r ′) = f ( r - r ′) och ställde ett ytterligare villkor på de diagonala elementen A _ii ,

A _ij = f ( r _i - r _j ) - u δ _ij Σ _k f ( r _i - r _k ),

motiverade av det fysiska sammanhang där de studerade matrisen. En euklidisk distansmatris är ett särskilt exempel på euklidisk slumpmatris med antingen f ( r _i - r _j ) = | r _i - r _j | ² eller f ( ri _- rj ₎ = | r _i - r _j |.

Till exempel, i många biologiska nätverk beror styrkan av interaktion mellan två noder på den fysiska närheten av dessa noder. Rumsliga interaktioner mellan noder kan modelleras som en euklidisk slumpmässig matris, om noder placeras slumpmässigt i rymden.

Egenskaper

Eftersom positionerna för punkterna { r _i } är slumpmässiga, är matriselementen A _ij också slumpmässiga. Dessutom, eftersom N × N elementen bestäms fullständigt av endast N punkter och, typiskt, man är intresserad av N ≫ d , finns starka korrelationer mellan olika element.

₀₀₀₀₀ Exempel på sannolikhetsfördelningen av egenvärden Λ för den euklidiska slumpmatrisen genererad av funktionen f ( r , r ′) = sin( k ǀ r - r ′ǀ)/( k ǀ r - r ′ǀ), med k = 2π /λ . Marchenko-Pastur-fördelningen (röd) jämförs med resultatet av numerisk diagonalisering av en uppsättning slumpmässigt genererade matriser med storleken N × N . Punktdensiteten är ρλ ³ = 0,1.

Hermitiska euklidiska slumpmässiga matriser

Hermitiska euklidiska slumpmässiga matriser förekommer i olika fysiska sammanhang, inklusive underkylda vätskor, fononer i oordnade system och vågor i slumpmässiga medier.

₀₀₀₀₀₀ Exempel 1: Betrakta matrisen  som genereras av funktionen f ( r , r ′) = sin( k | r - r ′|)/( k | r - r ′|), med k = 2π/λ . Denna matris är hermitisk och dess egenvärden Λ är reella . För N punkter fördelade slumpmässigt i en kub av sidan L och volymen V = L ³ , kan man visa att sannolikhetsfördelningen för Λ är ungefär given av Marchenko-Pastur-lagen , om tätheten av punkterna ρ = N / V följer ρλ ³ ≤ 1 och 2,8 N /( kL ) ² < 1 (se figur) .

₀₀₀₀ Exempel på sannolikhetsfördelningen av egenvärden Λ för den euklidiska slumpmatrisen genererad av funktionen f ( r , r ′) = exp( ik ǀ r - r ′ǀ)/( k ǀ r - r ′ǀ), med k = 2π /λ och f ( r = r ′) = 0.

Icke-hermitiska euklidiska slumpmässiga matriser

En teori för egenvärdetätheten för stora ( N ≫1) icke-hermitiska euklidiska slumpmatriser har utvecklats och har använts för att studera problemet med slumpmässig laser .

₀₀₀₀₀₀ Exempel 2: Betrakta matrisen  som genereras av funktionen f ( r , r ′) = exp( ik | r - r ′|)/( k | r - r ′|), med k = 2π/λ och f ( r = r ′) = 0. Denna matris är inte hermitisk och dess egenvärden Λ är komplexa . Sannolikhetsfördelningen för Λ kan hittas analytiskt om densiteten för punkten ρ = N / V följer ρλ ³ ≤ 1 och 9 N /(8 k R ) ² < 1 (se figur).