Etemadis ojämlikhet

Inom sannolikhetsteorin är Etemadis olikhet en så kallad "maximal olikhet", en olikhet som ger en gräns för sannolikheten att partialsummorna för en finit samling av oberoende stokastiska variabler överskrider någon specificerad gräns. Resultatet beror på Nasrollah Etemadi.

Uttalande av ojämlikheten

Låt X ₁ , ..., X _n vara oberoende reella slumpvariabler definierade på något gemensamt sannolikhetsutrymme och låt α ≥ 0. Låt Sk _beteckna partialsumman

$S_{k}=X_{1}+\cdots +X_{k}.\,$

Sedan

$\Pr {\Bigl (}\max _{1\leq k\leq n}|S_{k}|\geq 3\alpha {\Bigr )}\leq 3\max _{1\leq k\ leq n}\Pr {\bigl (}|S_{k}|\geq \alpha {\bigr )}.$

Anmärkning

Antag att de slumpmässiga variablerna X _k har gemensamt förväntat värde noll. Applicera Chebyshevs ojämlikhet på höger sida av Etemadis ojämlikhet och ersätt α med α / 3. Resultatet är Kolmogorovs ojämlikhet med en extra faktor på 27 på höger sida:

$\Pr {\Bigl (}\max _{1\leq k\leq n}|S_{k}|\geq \alpha {\Bigr )}\leq {\frac {27}{\alpha ^{ 2}}}\operatörsnamn {var} (S_{n}).$

•   Billingsley, Patrick (1995). Sannolikhet och mått . New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-00710-2 . (Sat 22.5)
•    Etemadi, Nasrollah (1985). "Om några klassiska resultat i sannolikhetsteori". Sankhyā Ser. A . 47 (2): 215–221. JSTOR 25050536 . MR 0844022 .