Erdős–Ulam problem

Olöst problem i matematik :

Finns det en tät uppsättning punkter i planet på rationella avstånd från varandra?

(fler olösta problem i matematik)

I matematik frågar Erdős–Ulam-problemet om planet innehåller en tät uppsättning punkter vars euklidiska avstånd alla är rationella tal . Den är uppkallad efter Paul Erdős och Stanislaw Ulam .

Stora punktuppsättningar med rationella avstånd

Erdős –Anning-satsen säger att en uppsättning punkter med heltalsavstånd antingen måste vara ändliga eller ligga på en enda linje. Det finns dock andra oändliga uppsättningar av punkter med rationella avstånd. Till exempel, på enhetscirkeln , låt S vara uppsättningen av punkter

$(\cos \theta ,\sin \theta )$

där $\theta$ är begränsad till värden som gör att $\tan {\tfrac {\theta }{4}}$ är ett rationellt tal. För varje sådan punkt är både $\sin {\tfrac {\theta }{2}}$ och $\cos {\tfrac {\theta }{2}}$ sig själva båda rationella, och om $\theta$ och $\varphi$ definierar två punkter i S , så är deras avstånd det rationella talet

$\left|2\sin {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\varphi }{2}}-2\sin {\frac {\varphi }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}\right|.$

Mer generellt innehåller en cirkel med radien $\rho$ en tät uppsättning punkter på rationella avstånd till varandra om och endast om $\rho ^{2}$ är rationell. Dessa uppsättningar är dock bara täta på sin cirkel, inte täta på hela planet.

Historik och delresultat

1946 frågade Stanislaw Ulam om det finns en uppsättning punkter på rationella avstånd från varandra som bildar en tät delmängd av det euklidiska planet . Medan svaret på denna fråga fortfarande är öppet, József Solymosi och Frank de Zeeuw att de enda irreducerbara algebraiska kurvorna som innehåller oändligt många punkter på rationella avstånd är linjer och cirklar. Terence Tao och Jafar Shaffaf observerade oberoende att om Bombieri-Lang-förmodan är sann, skulle samma metoder visa att det inte finns någon oändlig tät uppsättning punkter på rationella avstånd i planet. Med hjälp av olika metoder bevisade Hector Pasten att abc-förmodan också innebär en negativ lösning på Erdős–Ulam-problemet.

Konsekvenser

Om Erdős-Ulam-problemet har en positiv lösning, skulle det ge ett motexempel till Bombieri-Lang-förmodan och till abc-förmodan . Det skulle också lösa Harborths gissning om förekomsten av ritningar av plana grafer där alla avstånd är heltal. Om en tät rationell avståndsmängd finns, kan varje rätlinjeritning av en plan graf störas av en liten mängd (utan att införa korsningar) för att använda punkter från denna uppsättning som dess hörn, och sedan skalas för att göra avstånden till heltal. Men liksom Erdős–Ulam-problemet är Harborths gissning fortfarande obevisad.