Egenvärdesstörning

Huvudartikel: Perturbation theory

I matematik är ett egenvärdesstörningsproblem att hitta egenvektorerna och egenvärdena för ett system $Ax=\lambda x$ som är stört från ett med kända egenvektorer och egenvärden $A_{0}x=\lambda _{0}x_{0}$ . Detta är användbart för att studera hur känsliga det ursprungliga systemets egenvektorer och egenvärden $x_{0i},\lambda _{0i},i=1,\dots n$ för förändringar i systemet. Denna typ av analys populariserades av Lord Rayleigh , i hans undersökning av harmoniska vibrationer av en sträng störd av små inhomogeniteter.

Avledningarna i denna artikel är i huvudsak fristående och kan hittas i många texter om numerisk linjär algebra eller numerisk funktionsanalys. Den här artikeln är fokuserad på fallet med störningen av ett enkelt egenvärde (se i multiplicitet av egenvärden )

Varför generaliserade egenvärden?

I posten , tillämpningar av egenvärden och egenvektorer finner vi många vetenskapliga områden där egenvärden används för att erhålla lösningar. Generalized_eigenvalue_problem är mindre utbredda men är en nyckel i studiet av vibrationer . De är användbara när vi använder Galerkin-metoden eller Rayleigh-Ritz-metoden för att hitta ungefärliga lösningar av partiella differentialekvationer som modellerar vibrationer av strukturer som strängar och plattor; uppsatsen från Courant (1943) är grundläggande. Finita elementmetoden är ett utbrett specialfall.

Inom klassisk mekanik kan vi hitta generaliserade egenvärden när vi letar efter vibrationer av flera frihetsgraderssystem nära jämvikt; den kinetiska energin ger massmatrisen $M$ , den potentiella töjningsenergin ger styvhetsmatrisen $K$ . För att få detaljer, se till exempel det första avsnittet i denna artikel av Weinstein (1941, på franska)

Med båda metoderna får vi ett system av differentialekvationer eller Matrix differentialekvation $M{\ddot {x}}+B{\dot {x}}+Kx=0$ med massmatrisen $M$ , dämpningsmatrisen $B$ och styvhetsmatrisen $K$ . Om vi ​​försummar dämpningseffekten använder vi $B=0$ , vi kan leta efter en lösning av följande form $x=e^{i\omega t}u$ ; vi får att $u$ och $\omega ^{2}$ är lösningen på det generaliserade egenvärdesproblemet $-\omega ^{2}Mu+ Ku=0$

Inställning av störning för ett generaliserat egenvärdeproblem

Antag att vi har lösningar på det generaliserade egenvärdesproblemet ,

$\mathbf {K} _{0}\mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}.\ qquad (0)$

där $\mathbf {K} _{0}$ och $\mathbf {M} _{0}$ är matriser. Det vill säga vi känner till egenvärdena λ _{0 i} och egenvektorer x _{0 i} för i = 1, ..., N . Det krävs också att egenvärdena är distinkta .

Anta nu att vi vill ändra matriserna med en liten mängd. Det vill säga vi vill hitta egenvärdena och egenvektorerna för

$\mathbf {K} \mathbf {x} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {M} \mathbf {x} _{i} \qquad (1)$

var

${\begin{aligned}\mathbf {K} &=\mathbf {K} _{0}+\delta \mathbf {K} \\\mathbf { M} &=\mathbf {M} _{0}+\delta \mathbf {M} \end{aligned}}$

med störningarna $\delta \mathbf {K}$ och $\delta \mathbf {M}$ mycket mindre än $\mathbf {K}$ och $\mathbf {M}$ respektive. Sedan förväntar vi oss att de nya egenvärdena och egenvektorerna ska likna originalet, plus små störningar:

${\begin{aligned}\lambda _{i}&=\lambda _{0i}+\delta \lambda _{i} \\\mathbf {x} _{i}&=\mathbf {x} _{0i}+\delta \mathbf {x} _{i}\end{aligned}}$

Steg

Vi antar att matriserna är symmetriska och positiva definita och antar att vi har skalat egenvektorerna så att

$\mathbf {x} _{0j}^{\top }\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}=\delta _ {ij},\quad$$\mathbf {x} _{i}^{T}\mathbf {M} \mathbf {x} _{j} =\delta _{ij}\qquad (2)$

där δ _ij är Kroneckerdeltat . Nu vill vi lösa ekvationen

$\mathbf {K} \mathbf {x} _{i}-\lambda _{i}\mathbf {M} \mathbf {x} _{i} =0.$

I den här artikeln begränsar vi studien till första ordningens störning.

Första ordningens expansion av ekvationen

Ersätter vi i (1), får vi

$(\mathbf {K} _{0 }+\delta \mathbf {K} )(\mathbf {x} _{0i}+\delta \mathbf {x} _{i})=\left(\lambda _{0i}+\delta \lambda _{ i}\right)\left(\mathbf {M} _{0}+\delta \mathbf {M} \right)\left(\mathbf {x} _{0i}+\delta \mathbf {x} _{ i}\right),$

som expanderar till

${\begin{aligned}\mathbf {K} _{0}\mathbf {x} _{0i}&+\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}+\mathbf {K } _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\delta \mathbf {K} \delta \mathbf {x} _{i}=\\[6pt]&\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}+\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\lambda _{0i} \delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}+\\&\quad \ lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \delta \mathbf {x} _{i}+\delta \lambda _{i}\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\ delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\delta \lambda _{i}\delta \mathbf {M} \delta \mathbf {x} _{i}.\end{aligned}}$

Avbryter från (0) ( $\mathbf {K} _{0}\mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {M} _{ 0}\mathbf {x} _{0i}$ ) lämnar

${\begin{aligned}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}+&\mathbf {K} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\delta \mathbf {K} \delta \mathbf {x} _{i}=\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\lambda _{0i} \delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}+\\&\lambda _ {0i}\delta \mathbf {M} \delta \mathbf {x} _{i}+\delta \lambda _{i}\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \ lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\delta \lambda _{i}\delta \mathbf {M} \delta \mathbf {x} _{ i}.\end{aligned}}$

Genom att ta bort termerna i högre ordning förenklas detta

$\mathbf {K} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i} \mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}+\delta \lambda _{ i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}.\qquad (3)$

Med andra ord, $\delta \lambda _{i}$ anger inte längre exakt variation av egenvärdet men dess första ordningens approximation.

Eftersom matrisen är symmetrisk är de opåverkade egenvektorerna $M$ ortogonala och därför använder vi dem som bas för de störda egenvektorerna. Det vill säga vi vill konstruera

$\delta \mathbf {x} _{i}=\summa _{j=1}^{N}\varepsilon _{ij} \mathbf {x} _{0j}\qquad (4)\quad$ med $\varepsilon _{ij}=\mathbf {x} _{0j}^{ T}M\delta \mathbf {x} _{i}$ ,

där ε _ij är små konstanter som ska bestämmas.

På samma sätt, genom att ersätta (2) och ta bort termer av högre ordning, får vi $\delta \mathbf {x} _{j}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}+\mathbf {x} _{0j}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x } _{i}+\mathbf {x} _{0j}\delta \mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}=0\quad {(5)}$

Härledningen kan fortsätta med två gafflar.

Första gaffeln: få första egenvärdesstörning

Egenvärdesstörning

Vi börjar med (3) $\quad \mathbf {K} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\ mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}+\delta \lambda _{i }\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i};$

vi lämnade multiplicera med $\mathbf {x} _{0i}^{T}$ och använd (2) såväl som dess första ordningens variant (5); vi får

$\mathbf {x} _{0i}^{T}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _ {0i}=\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{T}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}$

eller

$\delta \lambda _{i}=\mathbf {x} _{0i}^{T}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}-\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{T}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}$

Vi märker att det är första ordningens störning av den generaliserade Rayleigh-kvotienten med fast $x_{0i}$ : $R(K,M;x_{0i})=x_{0i}^{T}Kx_{0i}/x_{0i}^{T}Mx_{0i} ,{\text{ med }}x_{0i}^{T}Mx_{0i}=1$

Dessutom, för $M=I$ , formeln $\delta \lambda _{i}=x_{0i}^{T}\delta Kx_ {0i}$ bör jämföras med Bauer-Fikes sats som ger en gräns för egenvärdesstörning.

Egenvektorstörning

Vi lämnade multiplicera (3) med $x_{0j}^{T}$ för $j\neq i$ och få

$\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {K} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\mathbf {x} _{0j}^{T} \delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf { x} _{i}+\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}+\delta \lambda _{i }\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}.$

Vi använder $\mathbf {x} _{0j}^{T}K=\lambda _{0j}\mathbf {x } _{0j}^{T}M{\text{ och }}\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}=0 ,$ för $j\neq i$ .

$\lambda _{0j}\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\mathbf {x} _{ 0j}^{T}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0 }\delta \mathbf {x} _{i}+\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}.$

eller

$(\lambda _{0j}-\lambda _{0i})\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i }+\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0j}^{T }\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}.$

Eftersom egenvärdena antas vara enkla, för $j\neq i$

$\epsilon _{ij}=\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}={\frac {-\ mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}+\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}}{(\lambda _{0j}-\lambda _{0i})}},i=1,\dots N;j=1,\dots N; j\neq i.$

Dessutom ger (5) (första ordningens variation av (2) $2\epsilon _{ii}=2\mathbf {x} _{0i}^{T}\mathbf {M} _{0}\delta x_{i}=-\mathbf {x} _{0i }^{T}\delta M\mathbf {x} _{0i}.$ Vi har fått alla komponenterna i $\delta x_{i}$ .

Andra gaffeln: Enkla manipulationer

 Att ersätta (4) i (3) och omarrangera ger 

${\begin{aligned}\mathbf {K} _{0}\sum _{j=1}^{N}\varepsilon _{ij}\ mathbf {x} _{0j}+\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}&=\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\summa _{j=1} ^{N}\varepsilon _{ij}\mathbf {x} _{0j}+\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i }\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}&&(5)\\\sum _{j=1}^{N}\varepsilon _{ij}\mathbf {K} _{ 0}\mathbf {x} _{0j}+\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}&=\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\summa _{j =1}^{N}\varepsilon _{ij}\mathbf {x} _{0j}+\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}&&\\({\text{tillämpar }}\mathbf {K} _{0}{\text{ till summan} })\\\summa _{j=1}^{N}\varepsilon _{ij}\lambda _{0j}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0j}+\delta \ mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}&=\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\sum _{j=1}^{N}\varepsilon _{ij}\mathbf {x} _{0j}+\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}&&({\text{med ekv. }}(1))\end{aligned}}$

Eftersom egenvektorerna är M ₀ -ortogonala när M ₀ är positiv definitiv, kan vi ta bort summeringarna genom att vänstermultiplicera med $\mathbf {x} _{0i}^{\top }$ :

$\mathbf {x} _{0i}^{\top }\varepsilon _{ii}\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}+\mathbf {x} _{0i}^{\top }\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\ mathbf {M} _{0}\varepsilon _{ii}\mathbf {x} _{0i}+\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\delta \mathbf {M } \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i }.$

Med hjälp av ekvation (1) igen:

$\mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {K} _{0}\varepsilon _{ii}\mathbf {x} _{0i}+\mathbf {x} _{0i}^{\top }\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {M } _{0}\varepsilon _{ii}\mathbf {x} _{0i}+\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}.\ qquad (6)$

De två termerna som innehåller ε _ii är lika eftersom vänstermultiplicering (1) med $\mathbf {x} _{0i}^{\top }$ ger

$\mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {K} _{0}\mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i }^{\top }\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}.$

Om du avbryter dessa villkor i (6) lämnas

$\mathbf {x} _{0i}^{\top }\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^ {\top }\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {M} _{ 0}\mathbf {x} _{0i}.$

Att arrangera om ger

$\delta \lambda _{i}={\frac {\mathbf {x} _{0i}^ {\top }\left(\delta \mathbf {K} -\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \right)\mathbf {x} _{0i}}{\mathbf {x} _{0i }^{\top }\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}}}$

Men med (2) är denna nämnare lika med 1. Alltså

$\delta \lambda _{i}=\mathbf {x} _{0i}^{\top }\left(\delta \mathbf {K} -\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \right)\mathbf {x} _{0i}.$

Sedan, som $\lambda _{i}\neq \lambda _{k}$ för $i\neq k$ (antagande enkla egenvärden) genom att vänstermultiplicera ekvationen (5 ) av $\mathbf {x} _{0k}^{\top }$ :

$\varepsilon _{ik}={\frac {\mathbf {x} _{0k}^{\top }\left(\delta \mathbf {K} -\lambda _{0i}\delta \mathbf { M} \right)\mathbf {x} _{0i}}{\lambda _{0i}-\lambda _{0k}}},\qquad i\neq k.$

Eller genom att ändra namnet på indexen:

$\varepsilon _{ij}={\frac {\mathbf {x} _{0j}^{\top }\left(\delta \mathbf {K} -\lambda _{0i}\delta \mathbf { M} \right)\mathbf {x} _{0i}}{\lambda _{0i}-\lambda _{0j}}},\qquad i\neq j.$

För att hitta ε _ii , använd det faktum att:

$\mathbf {x} _{i}^{\top }\mathbf {M} \mathbf {x} _{i}=1$

innebär:

$\varepsilon _{ii}=-{\tfrac {1}{2}}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i }.$

Sammanfattning av första ordningens störningsresultat

I fallet där alla matriser är hermitiska positiva definita och alla egenvärden är distinkta ,

${\begin{aligned}\lambda _{i}&=\lambda _{0i}+\mathbf {x} _{0i }^{\top }\left(\delta \mathbf {K} -\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \right)\mathbf {x} _{0i}\\\mathbf {x} _ {i}&=\mathbf {x} _{0i}\left(1-{\tfrac {1}{2}}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}\right)+\sum _{j=1 \atop j\neq i}^{N}{\frac {\mathbf {x} _{0j}^{\top }\ vänster(\delta \mathbf {K} -\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \right)\mathbf {x} _{0i}}{\lambda _{0i}-\lambda _{0j} }}\mathbf {x} _{0j}\end{aligned}}$

för infinitesimal $\delta \mathbf {K}$ och $\delta \mathbf {M}$ (de högre ordningens termer i (3) försummas).

Hittills har vi inte bevisat att dessa högre ordningsvillkor kan försummas. Denna punkt kan härledas med hjälp av den implicita funktionssatsen; i nästa avsnitt sammanfattar vi användningen av denna sats för att få en första ordningens expansion.

Teoretisk härledning

Störning av en implicit funktion.

I nästa stycke ska vi använda Implicit funktionssatsen (Statement of the theorem ); vi märker att för en kontinuerligt differentierbar funktion ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R} ^{m},\;f:(x,y)\mapsto f(x,y)} , med en inverterbar$ jakobiansk matris $J_{f, b}(x_{0},y_{0})$ , från en punkt $(x_{0},y_{0})$ lösning av $f(x_{0},y_{0})=0$ , vi får lösningar av $f(x,y)=0$ med $x$ nära ${ \displaystyle x_{0}}$ i formen $y=g(x)$ där $g$ är en kontinuerligt differentierbar funktion ; dessutom tillhandahålls den jakobiska marixen av ${\displaystyle g} av det linjära systemet$

$J_{f,y}(x,g( x))J_{g,x}(x)+J_{f,x}(x,g(x))=0\quad (6)$ . 

Så snart hypotesen för satsen är uppfylld, kan den jakobiska matrisen för $g$ beräknas med en första ordningens expansion av ${\displaystyle f(x_{ 0}+\delta x,y_{0}+\delta y)=0} ,$ vi får

$J_{f,x}(x,g(x))\delta x +J_{f,y}(x,g(x))\delta y=0$ ; eftersom ${\displaystyle \delta y=J_{g,x}(x)\delta x} ,$ är det ekvivalent med ekvation $(6)$ .

Egenvärdesstörning: en teoretisk grund.

Vi använder föregående stycke (Perturbation av en implicit funktion) med något olika notationer som är anpassade till egenvärdesstörning; vi introducerar ${\tilde {f}}:\mathbb {R} ^{2n^{2}}\times \mathbb {R} ^{n+1}\to \mathbb {R} ^{n+1}$ , med

• ${\tilde {f}}(K,M,\lambda ,x )={\binom {f(K,M,\lambda ,x)}{f_{n+1}(x)}}$ med

$f(K,M,\lambda ,x)=Kx- \lambda x,f_{n+1}(M,x)=x^{T}Mx-1$ . För att använda den implicita funktionssatsen studerar vi invertibiliteten hos den jakobiska $J_{{\tilde {f}};\lambda ,x}(K,M;\lambda _{0i},x_{0i})$ med

${\displaystyle J_$ . Faktum är att lösningen på

${\displaystyle J_{{\tilde {f}};\lambda _{0i},x_{0i} }(K,M;\lambda _{0i},x_{0i})(\delta \lambda _{i},\delta x_{i})=} ($$\displaystyle {\binom {y}{y_{n+1}}}}$ kan härledas med beräkningar som liknar härledningen av expansionen.

$$\delta \lambda _{i}=-x_{0i}^{T}y,\;{\text{ och }}(\lambda _{0i}-\lambda _{0j})x_{0j }^{T}M\delta x_{i}=x_{j}^{T}y,j=1,\dots ,n,j\neq i\;;$$

${\text{ eller }}x_{0j} ^{T}M\delta x_{i}=x_{j}^{T}y/(\lambda _{0i}-\lambda _{0j}),{\text{ och }}\;2x_{0i }^{T}M\delta x_{i}=y_{n+1}$

När $\lambda _{i}$ är ett enkelt egenvärde, eftersom egenvektorerna $x_{0j},j=1,\dots ,n$ bildar en ortonormal grund, för vilken höger sida som helst, har vi fått en lösning, därför är Jacobian inverterbar.

Den implicita funktionssatsen ger en kontinuerligt differentierbar funktion $(K,M)\mapsto (\lambda _{i}( K,M),x_{i}(K,M))$ därav expansionen med liten o-notation : $\ lambda _{i}=\lambda _{0i}+\delta \lambda _{i}+o(\|\delta K\|+\|\delta M\|)$$x_{i}=x_{0i}+\delta x_{i}+o(\|\delta K\|+\|\delta M\| )$ . med

${\displaystyle \delta \lambda _{i}=\mathbf {x} _{0i}^{T}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}-\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{T}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i};} δ x i = x j$${ i}=\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}\mathbf {x} _{0j}{\text{ med }}}$$\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}={\frac {-\mathbf {x} _{0j }^{T}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}+\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}}{(\lambda _{0j}-\lambda _{0i})}},i=1,\dots n;j=1,\dots n;j\neq i.$ Detta är första ordningens expansion av de störda egenvärdena och egenvektorerna. vilket är bevisat.

Resultat av känslighetsanalys med avseende på matrisernas inmatningar

Resultaten

Detta innebär att det är möjligt att effektivt göra en känslighetsanalys på λ _i som en funktion av förändringar i matrisernas inmatningar. (Kom ihåg att matriserna är symmetriska och att förändring av K _{k ℓ} också kommer att ändra K _{ℓ k} , därav termen (2 − δ _{k ℓ} ) .)

${\begin{aligned}{\frac {\partial \lambda _{i}}{\partial \mathbf {K} _{(k\ell )}}}&={\frac {\partial }{ \partial \mathbf {K} _{(k\ell )}}}\left(\lambda _{0i}+\mathbf {x} _{0i}^{\top }\left(\delta \mathbf {K } -\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \right)\mathbf {x} _{0i}\right)=x_{0i(k)}x_{0i(\ell )}\left(2) -\delta _{k\ell }\right)\\{\frac {\partial \lambda _{i}}{\partial \mathbf {M} _{(k\ell )}}}&={\frac {\partial }{\partial \mathbf {M} _{(k\ell )}}}\left(\lambda _{0i}+\mathbf {x} _{0i}^{\top }\left(\ delta \mathbf {K} -\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \right)\mathbf {x} _{0i}\right)=-\lambda _{i}x_{0i(k)} x_{0i(\ell )}\left(2-\delta _{k\ell}\right).\end{aligned}}$

Liknande

${\begin{aligned}{\frac {\partial \mathbf {x} _{i}}{\partial \mathbf {K} _{(k\ell )}}}&=\summa _{j =1 \atop j\neq i}^{N}{\frac {x_{0j(k)}x_{0i(\ell )}\left(2-\delta _{k\ell}\right)}{ \lambda _{0i}-\lambda _{0j}}}\mathbf {x} _{0j}\\{\frac {\partial \mathbf {x} _{i}}{\partial \mathbf {M} _{(k\ell )}}}&=-\mathbf {x} _{0i}{\frac {x_{0i(k)}x_{0i(\ell )}}{2}}(2-\ delta _{k\ell })-\summa _{j=1 \atop j\neq i}^{N}{\frac {\lambda _{0i}x_{0j(k)}x_{0i(\ell )}}{\lambda _{0i}-\lambda _{0j}}}\mathbf {x} _{0j}\left(2-\delta _{k\ell }\right).\end{aligned} }$

Egenvärdeskänslighet, ett litet exempel

Ett enkelt fall är $K={\begin{bmatrix}2&b\\b&0\end{bmatrix}}$ ; dock kan du beräkna egenvärden och egenvektorer med hjälp av onlineverktyg som [1] (se introduktionen i Wikipedia WIMS ) eller med Sage SageMath . Du får det minsta egenvärdet $\lambda =-\left[{\sqrt {b^{2}+1}}+1\right]$ och en explicit beräkning ${\frac {\partial \lambda }{\partial b}}={\frac {-x}{\sqrt {x^{2}+1}}}$ ; mer över, en associerad egenvektor är ${\tilde {x}}_{0}=[x,-({\sqrt {x ^{2}+1}}+1))]^{T}$ ; det är inte en enhetlig vektor; så $x_{01}x_{02}={\tilde {x}}_{01}{\tilde {x}}_{ 02}/\|{\tilde {x}}_{0}\|^{2}$ ; vi får $\|{\tilde {x}}_{0}\|^{2}=2{\sqrt {x ^{2}+1}}({\sqrt {x^{2}+1}}+1)$ och ${\tilde {x}}_{01}{\tilde {x}}_{02}=-x({\sqrt {x^{2}+1}}+1)$ ; alltså $x_{01}x_{02}=-{\frac {x}{2{\sqrt {x^{2}+1}}}}$ ; för det här exemplet har vi kontrollerat att ${\frac {\partial \lambda }{\partial b}}=2x_{01}x_{02}$ eller $\delta \lambda =2x_{01}x_{02}\delta b$ .

Förekomsten av egenvektorer

Notera att vi i exemplet ovan antog att både de opåverkade och de störda systemen involverade symmetriska matriser , vilket garanterade förekomsten av $N$ linjärt oberoende egenvektorer. Ett egenvärdeproblem som involverar icke-symmetriska matriser är inte garanterat att ha $N$ linjärt oberoende egenvektorer, även om ett tillräckligt villkor är att $\mathbf {K}$ och $\mathbf {M}$ vara diagonaliserbar samtidigt .

Fallet med upprepade egenvärden

En teknisk rapport av Rellich för störning av egenvärdeproblem ger flera exempel. De elementära exemplen finns i kapitel 2. Rapporten kan laddas ner från archive.org . Vi drar ett exempel där egenvektorerna har ett otäckt beteende.

Exempel 1

Betrakta följande matris $B(\epsilon )=\epsilon {\begin{bmatrix}\cos(2/\epsilon )&,\sin(2/\epsilon )\\\sin(2/\epsilon )&,s\cos(2/\epsilon )\ end{bmatrix}}$ och $A(\epsilon )=Ie^{-1/\epsilon ^{2}}B;$$A(0)=I.$ För ${\displaystyle \epsilon \neq 0} har$ matrisen $A(\epsilon )$ egenvektorer ${\displaystyle \Phi ^{1}=[\cos(1/\epsilon ),-\sin(1/\epsilon )]^{T};\Phi ^{2}=[\sin(1/\epsilon ),-\cos(1/\epsilon )]^{T}} tillhörande$ egenvärden $\lambda _{1}=1-e^{-1/\epsilon ^{2})},\lambda _{2} =1+e^{-1/\epsilon ^{2})}$ . Eftersom $\lambda _{1}\neq \lambda _{2}$ för $\epsilon \neq 0$ om ${ \displaystyle u^{j}(\epsilon ),j=1,2,}$ är alla normaliserade egenvektorer som tillhör $\lambda _{j}(\epsilon ), j=1,2$ respektive då $u^{j}=e^{\alpha _{j}(\epsilon )}\Phi ^{j }(\epsilon )$ där $\alpha _{j},j=1,2$ är reella för $\epsilon \neq 0.$ Det är uppenbarligen omöjligt att definiera ${\displaystyle \alpha _{1}(\epsilon )} ,$ säg på ett sådant sätt att $u^{1}(\epsilon )$ tenderar till en gräns som $\epsilon \rightarrow 0,$ eftersom $|u^{1}(\epsilon )|=|\cos(1/\epsilon )|$ har ingen gräns som $\epsilon \rightarrow 0.$

Notera i det här exemplet att $A_{jk}(\epsilon )$ inte bara är kontinuerlig utan också har kontinuerliga derivator av alla ordningar. Rellich drar följande viktiga konsekvens. << Eftersom de individuella egenvektorerna i allmänhet inte är kontinuerligt beroende av störningsparametern även om operatorn $A(\epsilon )$ gör det, är det nödvändigt att arbeta, inte med en egenvektor, utan snarare med utrymme som spänns av alla egenvektorer som hör till samma egenvärde. >>

Exempel 2

Det här exemplet är mindre otäckt än det föregående. Antag att $[K_{0}]$ är 2x2 identitetsmatrisen, vilken vektor som helst är en egenvektor; då $u_{0}=[1,1]^{T}/{\sqrt {2}}$ en möjlig egenvektor. Men om man gör en liten störning, som t.ex

$[K]=[K_{0}]+{\begin{bmatrix}\epsilon &0\\0&0\end{bmatrix}}$

Då är egenvektorerna $v_{1}=[1,0]^{T}$ och $v_{2}=[0, 1]^{T}$ ; de är konstanta med avseende på $\epsilon$ så att $\|u_{0}-v_{1}\|$ är konstant och inte går till noll.

Se även

• Perturbationsteori (kvantmekanik)
• Bauer-Fikes sats

Vidare läsning

Böcker

•   Ren-Cang Li (2014). "Matrix Perturbation Theory". I Hogben, Leslie (red.). Handbok för linjär algebra (andra upplagan). ISBN 978-1466507289 .
• Rellich, F. & Berkowitz, J. (1969). Perturbationsteori för egenvärdeproblem. CRC Tryck på . {{ citera bok }} : CS1 underhåll: flera namn: lista över författare ( länk ) .
• Bhatia, R. (1987). Störningsgränser för matrisegenvärden. SIAM.

Rapportera

• Rellich, Franz (1954). Perturbationsteori för egenvärdeproblem . New-York: Courant Institute of Mathematical Sciences, New-York University.

Journalpapper

• Simon, B. (1982). Stora beställningar och summerbarhet av egenvärdesstörningsteori: en matematisk översikt. International Journal of Quantum Chemistry, 21(1), 3-25.
• Crandall, MG, & Rabinowitz, PH (1973). Bifurkation, störning av enkla egenvärden och linjär stabilitet. Arkiv för rationell mekanik och analys, 52(2), 161-180.
• Stewart, GW (1973). Fel- och störningsgränser för delrum associerade med vissa egenvärdeproblem. SIAM recension, 15(4), 727-764.
• Löwdin, PO (1962). Studier i störningsteori. IV. Lösning av egenvärdesproblem med projektionsoperatorformalism. Journal of Mathematical Physics, 3(5), 969-982.