Eatons ojämlikhet

I sannolikhetsteorin är Eatons olikhet en gräns för de största värdena av en linjär kombination av gränsade slumpvariabler . Denna ojämlikhet beskrevs 1974 av Morris L. Eaton.

Uttalande av ojämlikheten

Låt { X _i } vara en uppsättning reella oberoende slumpvariabler, var och en med ett förväntat värde på noll och avgränsade ovanför av 1 ( | X _i | ≤ 1, för 1 ≤ i ≤ n ). Variaterna behöver inte vara identiskt eller symmetriskt fördelade. Låt { a _i } vara en uppsättning av n fasta reella tal med

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}=1.$

Eaton visade det

${ \displaystyle P\left(\left|\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}\right|\geq k\right)\leq 2\inf _{0\leq c\ leq k}\int _{c}^{\infty }\left({\frac {zc}{kc}}\right)^{3}\phi (z)\,dz=2B_{E}(k) ,}$

där φ ( x ) är sannolikhetstäthetsfunktionen för standardnormalfördelningen .

En relaterad gräns är Edelmans

$P\left(\left|\summa _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}\right|\geq k\right)\leq 2\left(1-\Phi \left[k-{\frac {1.5}{k }}\right]\right)=2B_{Ed}(k),$

där Φ( x ) är den kumulativa fördelningsfunktionen för standardnormalfördelningen.

Pinelis har visat att Eatons band kan skärpas:

$B_{EP}=\min\{1,k^{-2},2B_{E}\}$

En uppsättning kritiska värden för Eatons gräns har fastställts.

Relaterade ojämlikheter

Låt { a _i } vara en uppsättning oberoende Rademacher-slumpvariabler – P ( a _i = 1 ) = P ( a _i = −1 ) = 1/2. Låt Z vara en normalfördelad variant med medelvärdet 0 och variansen 1. Låt { b _i } vara en uppsättning av n fasta reella tal så att

$\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}=1.$

Detta sista villkor krävs av Riesz–Fischers sats som säger det

$a_{i}b_{i}+\cdots +a_{n}b_{n}$

kommer att konvergera om och bara om

$\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}$

är ändlig.

Sedan

$Ef(a_{i}b_{i}+\cdots +a_{n}b_{n})\leq Ef (Z)$

för f (x) = | x | ^p . Fallet för p ≥ 3 bevisades av Whittle och p ≥ 2 bevisades av Haagerup.

Om f (x) = e ^λx med λ ≥ 0 då

$Ef(a_{i}b_{i}+\ cdots +a_{n}b_{n})\leq \inf \left[{\frac {E(e^{\lambda Z})}{e^{\lambda x}}}\right]=e^{ -x^{2}/2}$

där inf är infimum .

Låta

$S_{n}=a_{i}b_{i}+\cdots +a_{n}b_{n}$

Sedan

$P(S_{n}\geq x)\leq {\frac {2e^{3}}{9}}P(Z \geq x)$

Konstanten i den sista ojämlikheten är ungefär 4,4634.

En alternativ gräns är också känd:

$P(S_{n}\geq x)\leq e^{-x^{2}/2}$

Denna sista gräns är relaterad till Hoeffdingens ojämlikhet .

I det enhetliga fallet där alla b _i = n ^−1/2 är det maximala värdet för S _n n ^1/2 . I det här fallet har van Zuijlen visat det

$P(|\mu -\sigma |)\leq 0,5\,$

där μ är medelvärdet och σ är standardavvikelsen för summan.