Dunkl operatör

Inom matematiken , särskilt studiet av Lie-grupper , är en Dunkl-operator en viss typ av matematisk operator , som involverar differentialoperatorer men också reflektioner i ett underliggande utrymme.

Formellt, låt G vara en Coxeter-grupp med reducerat rotsystem R och k _v en godtycklig "multiplicity"-funktion på R (så k _u = k _v när reflektionerna σ _u och σ _v som motsvarar rötterna u och v är konjugerade i G ). Sedan definieras Dunkl-operatören av:

$T_{i}f( x)={\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(x)+\summa _{v\in R_{+}}k_{v}{\frac {f(x)-f (x\sigma _{v})}{\left\langle x,v\right\rangle }}v_{i}$

där $v_{i}$ är den i - ^te komponenten av v , 1 ≤ i ≤ N , x i R ^N , och f en jämn funktion på RN .

Dunkl-operatörer introducerades av Charles Dunkl ( 1989 ). Ett av Dunkls viktigaste resultat var att Dunkl-operatorer "pendlar", det vill säga de uppfyller $T_{i}(T_{j }f(x))=T_{j}(T_{i}f(x))$ precis som partiella derivator gör. Sålunda representerar Dunkl-operatorer en meningsfull generalisering av partiella derivator.

•    Dunkl, Charles F. (1989), "Differential-difference operators associated to reflection groups", Transactions of the American Mathematical Society , 311 (1): 167–183, doi : 10.2307/2001022 , ISSN 0002-9947 , 51MR 8847