Dirichlet kärna

Inom matematisk analys är Dirichlet -kärnan , uppkallad efter den tyske matematikern Peter Gustav Lejeune Dirichlet , samlingen av periodiska funktioner som definieras som

$$D_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}=\left(1+2\sum _{k=1}^{ n}\cos(kx)\right)={\frac {\sin \left(\left(n+1/2\right)x\right)}{\sin(x/2)}},$$

där n är vilket icke-negativt heltal som helst . Kärnfunktionerna är periodiska med period $2\pi$ .

Plot begränsad till en period $[-L,L],~L=\pi ,~$ av de första få Dirichlet-kärnorna som visar deras konvergens till en av Dirac- deltafördelningarna av Dirac-kammen .

Vikten av Dirichlet-kärnan kommer från dess relation till Fourier-serien . Konvolutionen av D _n ( x ) med vilken funktion f som helst av period 2 π är den n :te gradens Fourierserie approximation till f , dvs. vi har

$$(D_{ n}*f)(x)=\int _{-\pi }^{\pi }f(y)D_{n}(xy)\,dy=\summa _{k=-n}^{n} {\hat {f}}(k)e^{ikx},$$

var

$${\widehat {f}}(k)={\frac {1}{2\pi }} \int _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-ikx}\,dx$$

är den k: te Fourierkoefficienten för f . Detta innebär att för att studera konvergens av Fourier-serier är det tillräckligt att studera egenskaper hos Dirichlet-kärnan.

Plot begränsad till en period av de första få Dirichlet-kärnorna (multiplicerat med ${\displaystyle 2\pi } )$ .

L ¹ norm för kärnfunktionen

Av särskild betydelse är det faktum att L ¹ -normen för D _n på $[0,2\pi ]$ divergerar till oändligheten som n → ∞ . Det kan man uppskatta

$$\|D_{n}\|_{L^{1}}=\Omega (\log n).$$

Genom att använda ett Riemann-summa-argument för att uppskatta bidraget i den största omgivningen av noll där $D_{n}$ är positiv, och Jensens olikhet för den återstående delen, är det också möjligt att visa att:

$$\|D_{n}\|_{L^{1}}\geq 4\operatörsnamn {Si} (\pi )+{\frac {8}{\pi }}\log n.$$

Denna brist på enhetlig integrerbarhet ligger bakom många divergensfenomen för Fourier-serien. Till exempel, tillsammans med principen om enhetlig boundedness , kan den användas för att visa att Fourier-serien av en kontinuerlig funktion kan misslyckas med att konvergera punktvis, på ett ganska dramatiskt sätt. Se konvergens av Fourier-serier för ytterligare detaljer.

Ett exakt bevis på det första resultatet att $\|D_{n}\|_{L^{1}[0,2\pi ]}=\Omega (\log n)$ ges av

$${\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }|D_{n}(x)| \,dx&\geq \int _{0}^{\pi }{\frac {|\sin[(2n+1)x]|}{x}}\,dx\\[5pt]&\geq \summa _{k=0}^{2n}\int _{k\pi }^{(k+1)\pi }{\frac {|\sin(s)|}{s}}\,ds\\[ 5pt]&\geq \left|\sum _{k=0}^{2n}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin(s)}{(k+1)\pi } }\,ds\right|\\[5pt]&={\frac {2}{\pi }}H_{2n+1}\\[5pt]&\geq {\frac {2}{\pi }} \log(2n+1),\end{aligned}}$$

där vi har använt Taylor-seriens identitet som $2/x\leq 1/|\sin(x/2)|$ och där $H_{n}$ är de första ordningens övertonstalen .

Relation till den periodiska deltafunktionen

Dirichlet-kärnan är en periodisk funktion som blir Dirac-kammen , dvs den periodiska deltafunktionen, i gränsen

$\sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{\pm i\omega mT}={\frac {2\pi }{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\omega -2\pi k/T)={\frac {1}{T}}\summa _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\xi -k/T)~,$

med vinkelfrekvensen $\omega =2\pi \xi$ .

Detta kan härledas från autokonjugationsegenskapen för Dirichlet-kärnan under framåt och invers Fourier-transform :

${\mathcal {F}}\left[D_{n}(2\pi x)\right]( \xi )={\mathcal {F}}^{-1}\left[D_{n}(2\pi x)\right](\xi )=\int _{-\infty }^{\infty } D_{n}(2\pi x)e^{\pm i2\pi \xi x}dx=\sum _{k=-n}^{+n}\delta (\xi -k)\equiv \mathrm {kam} _{n}(\xi)$

${\mathcal {F}}\left[\mathrm {comb} _{n}\right](x)={\mathcal {F}}^{-1}\left[\mathrm {comb} _{n}\right](x)=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {comb} _{n} (\xi )e^{\pm i2\pi \xi x}d\xi =D_{n}(2\pi x),$

och $\mathrm {comb} _{n}(x)$ går till Dirac-kammen $\operatornamn {\text{Ш}}$ för period ${ \displaystyle T=1}$ som ${\displaystyle n\rightarrow \infty } ,$ som förblir invariant under Fouriertransform : ${\mathcal {F}}[\operatörsnamn {\text{ Ш}} ]=\operatörsnamn {\text{Ш}}$ . $D_{n}(2\pi x)$ måste alltså också ha konvergerat till $\operatörsnamn {\text{Ш}}$ som n $\displaystyle n\ högerpil \infty }$ .

På ett annat sätt, betrakta ∆(x) som identitetselementet för faltning av funktioner i period 2 π . Det har vi med andra ord

$$f*(\Delta )=f$$

för varje funktion f av period 2 π . Fourierseriens representation av denna "funktion" är

$$\Delta (x)\sim \sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{ikx}=\left(1+2\sum _{k=1}^{\infty } \cos(kx)\right).$$

(Denna Fourier-serie konvergerar till funktionen nästan ingenstans.) Därför kan Dirichlet-kärnan, som bara är sekvensen av delsummor av denna serie, ses som en ungefärlig identitet . Abstrakt sett är det dock inte en ungefärlig identitet av positiva element (därav misslyckandena i punktvis täckning som nämns ovan).

Bevis på den trigonometriska identiteten

Den trigonometriska identiteten

$$\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx }={\frac {\sin((n+1/2)x)}{\sin(x/2)}}$$

som visas överst i den här artikeln kan fastställas enligt följande. Kom först ihåg att summan av en ändlig geometrisk serie är

$$\sum _{k=0}^{n}ar^{k}=a{\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}.$$

I synnerhet har vi

$$\sum _{k=-n}^{n}r^{k}=r^{-n}\cdot {\frac {1-r^{2n+1}}{1-r}} .$$

Multiplicera både täljaren och nämnaren med $r^{-1/2}$ för att få

$${\frac {r^{-n-1/2}}{r^{-1/2}}}\cdot {\frac {1-r^{2n+1}}{1-r} }={\frac {r^{-n-1/2}-r^{n+1/2}}{r^{-1/2}-r^{1/2}}}.$$

I fallet $r=e^{ix}$ har vi

$$\sum _{k= -n}^{n}e^{ikx}={\frac {e^{-(n+1/2)ix}-e^{(n+1/2)ix}}{e^{-ix /2}-e^{ix/2}}}={\frac {-2i\sin((n+1/2)x)}{-2i\sin(x/2)}}={\frac { \sin((n+1/2)x)}{\sin(x/2)}}$$

såsom krävs.

Alternativt bevis på den trigonometriska identiteten

Börja med serien

$$f(x)=1+2\summa _{k=1}^{n}\cos(kx).$$

Multiplicera båda sidor med ${\textstyle \sin(x/2)}$ och använd den trigonometriska identiteten

$$\cos(a)\sin(b)={\frac {\sin(a+ b)-\sin(ab)}{2}}$$

att minska villkoren i summan.

$${\ displaystil \sin(x/2)f(x)=\sin(x/2)+\sum _{k=1}^{n}\sin((k+{\tfrac {1}{2}})x )-\sin((k-{\tfrac {1}{2}})x)}$$

som teleskop ner till resultatet.

Variant av identitet

Om summan endast är över icke-negativa heltal (vilket kan uppstå när man beräknar en diskret Fouriertransform som inte är centrerad), kan vi med liknande tekniker visa följande identitet:

$$\sum _{k=0}^{N -1}e^{ikx}=e^{i(N-1)x/2}{\frac {\sin(N\,x/2)}{\sin(x/2)}}$$

Se även

• Fejér kärna

•   Andrew M. Bruckner, Judith B. Bruckner, Brian S. Thomson: Verklig analys . ClassicalRealAnalysis.com 1996, ISBN 0-13-458886-X , S.620 ( vollständige Online-Version (Google Books) )
• Podkorytov, AN (1988), "Asymptotiskt beteende hos Dirichlet-kärnan i Fourier-summor med avseende på en polygon". Journal of Soviet Mathematics , 42(2): 1640–1646. doi: 10.1007/BF01665052
• Levi, H. (1974), "En geometrisk konstruktion av Dirichlet-kärnan". Transactions of the New York Academy of Sciences , 36: 640–643. doi: 10.1111/j.2164-0947.1974.tb03023.x
• "Dirichlet kernel" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Dirichlet-Kernel på PlanetMath