Denjoy–Carleman–Ahlfors teorem

Denjoy –Carleman–Ahlfors-satsen säger att antalet asymptotiska värden som uppnås av en icke-konstant hel funktion av ordningen ρ på kurvor som går utåt mot oändligt absolut värde är mindre än eller lika med 2ρ. Det antogs först av Arnaud Denjoy 1907. Torsten Carleman visade att antalet asymptotiska värden var mindre än eller lika med (5/2)ρ 1921. 1929 bekräftade Lars Ahlfors Denjoys gissning om 2ρ. Slutligen, 1933, publicerade Carleman ett mycket kort bevis.

Användningen av termen "asymptotiskt värde" betyder inte att förhållandet mellan det värdet och värdet av funktionen närmar sig 1 (som i asymptotisk analys ) när man rör sig längs en viss kurva, utan snarare att funktionsvärdet närmar sig det asymptotiska värdet längs kurvan. Till exempel, när man rör sig längs den reella axeln mot negativ oändlighet, närmar sig funktionen $\exp(z)$ noll, men kvoten $0/\exp( z)$ går inte till 1.

Exempel

Funktionen $\exp(z)$ är av ordningen 1 och har bara ett asymptotiskt värde, nämligen 0. Detsamma gäller funktionen $\sin (z)/z,$ men asymptoten uppnås i två motsatta riktningar.

Ett fall där antalet asymptotiska värden är lika med 2ρ är sinusintegralen ${\displaystyle {\text{Si}}(z)=\int _{0}^ {z}{\frac {\sin \zeta }{\zeta }}\,d\zeta } ,$ en funktion av ordning 1 som går till −π/2 längs den reella axeln som går mot negativ oändlighet, och till +π/ 2 i motsatt riktning.

Integralen för funktionen $a\sin(z^{2})/z+b\sin(z^{2} )/z^{2}$ är ett exempel på en funktion av ordning 2 med fyra asymptotiska värden (om b inte är noll), när man går utåt från noll längs den reella och imaginära axeln.

Mer allmänt gäller $f(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\sin(\zeta ^{ \rho })}{\zeta ^{\rho }}}d\zeta ,$ med ρ vilket som helst positivt heltal, är av ordningen ρ och har 2ρ asymptotiska värden.

Det är tydligt att satsen gäller polynom endast om de inte är konstanta. Ett konstant polynom har 1 asymptotiskt värde, men är av ordningen 0.