Delbarhetssekvens

I matematik är en delbarhetssekvens en heltalssekvens $(a_{n})$ indexerad med positiva heltal n så att

${\text{if }}m\mid n{\text{ sedan }}a_{m}\mid a_{n}$

för alla m , n . Det vill säga, närhelst ett index är en multipel av ett annat, då är motsvarande term också en multipel av den andra termen. Begreppet kan generaliseras till sekvenser med värden i vilken ring som helst där begreppet delbarhet är definierat.

En stark delbarhetssekvens är en heltalssekvens $(a_{n})$ så att för alla positiva heltal m , n ,

$\gcd(a_{m},a_{n})=a_{\gcd(m,n)}.$

Varje stark delbarhetssekvens är en delbarhetssekvens: $\gcd(m,n)=m$ om och endast om $m\mid n$ . Därför genom den starka delbarhetsegenskapen, $\gcd(a_{m},a_{n})=a_{m}$ och därför $a_{m}\mid a_{n}$ .

Exempel

• Varje konstant sekvens är en stark delbarhetssekvens.
• Varje sekvens av formen $a_{n}=kn,$ för ett heltal som inte är noll k , är en delbarhetssekvens.
• Talen på formen $2^{n}-1$ ( Mersenne-tal ) bildar en stark delbarhetssekvens.
• Återenhetstalen i valfri bas R _n ^b) ( bildar en stark delbarhetssekvens.
• Mer generellt, vilken sekvens som helst av formen $a_{n}=A^{n}-B^{n}$ för heltal $A>B>0$ är en delbarhetssekvens. Faktum är att om $A$ och $B$ är coprime, så är detta en stark delbarhetssekvens.
• Fibonaccitalen F _n bildar en stark delbarhetssekvens .
• Mer allmänt är varje Lucas-sekvens av det första slaget U _n ( P , Q ) en delbarhetssekvens. Dessutom är det en stark delbarhetssekvens när gcd( P , Q ) = 1 .
• Elliptiska delbarhetssekvenser är en annan klass av sådana sekvenser.

•   Everest, Graham; van der Poorten, Alf; Shparlinski, Igor; Ward, Thomas (2003). Återkommande sekvenser . American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3387-2 .
•   Hall, Marshall (1936). "Delbarhetssekvenser av tredje ordningen". Am. J. Math . 58 (3): 577–584. doi : 10.2307/2370976 . JSTOR 2370976 .
• Ward, Morgan (1939). "En notering om delbarhetssekvenser" . Tjur. Amer. Matematik. Soc . 45 (4): 334–336. doi : 10.1090/s0002-9904-1939-06980-2 .
• Hoggatt, Jr., VE; Long, CT (1973). "Delbarhetsegenskaper för generaliserade Fibonacci-polynom" (PDF) . Fibonacci kvartalsvis : 113.
•   Bézivin, J.-P.; Pethö, A.; van der Porten, AJ (1990). "En fullständig karaktärisering av delbarhetssekvenser". Am. J. Math . 112 (6): 985–1001. doi : 10.2307/2374733 . JSTOR 2374733 .
•   P. Ingram; JH Silverman (2012), "Primitiva divisorer i elliptiska delbarhetssekvenser", i Dorian Goldfeld; Jay Jörgenson; Peter Jones; Dinakar Ramakrishnan; Kenneth A. Ribet; John Tate (red.), Talteori, analys och geometri. In Memory of Serge Lang , Springer, s. 243–271, ISBN 978-1-4614-1259-5