Davenport–Erdős sats

I talteorin säger Davenport -Erdős-satsen att för uppsättningar av multiplar av heltal är flera olika föreställningar om täthet ekvivalenta.

Låt $A=a_{1},a_{2},\dots$ vara en följd av positiva heltal. Då är multiplerna av $A$ en annan mängd $M(A)$ som kan definieras som mängden ${ \displaystyle M(A)=\{ka\mid k\in \mathbb {N} ,a\in A\}}$ av tal som bildas genom att multiplicera medlemmar av $A$ med godtyckliga positiva heltal.

Enligt Davenport–Erdős sats, för en mängd ${\displaystyle M(A)} ,$ är följande begrepp om densitet ekvivalenta, i den meningen att de alla producerar samma tal som varandra för densiteten av $M(A)$ :

• Den lägre naturliga densiteten , den lägre gränsen eftersom $n$ går till oändligheten av andelen medlemmar av $M(A)$ i intervallet $[1, n]$ .
• Den logaritmiska tätheten eller multiplikativ densitet, den viktade andelen medlemmar av $M(A)$ i intervallet $[1,n]$ , återigen i gränsen, där vikten av ett element $a$ är $1/a$ .
• Den sekventiella densiteten, definierad som gränsen (eftersom $i$ går till oändligheten) för densiteterna för mängderna $M(\{a_{1},\ prickar a_{i}\})$ av multiplar av de första $i$ -elementen i $A$ . Eftersom dessa uppsättningar kan delas upp i ändligt många osammanhängande aritmetiska progressioner , är deras densiteter väldefinierade utan tillgripande gränser.

Det finns dock sekvenser $A$ och deras uppsättningar av multipler $M(A)$ för vilka den övre naturliga densiteten (tagen med den övre gränsen istället för den undre gränsen) skiljer sig från lägre densitet, och för vilka den naturliga tätheten i sig (gränsen för samma värdesekvens) inte existerar.

Satsen är uppkallad efter Harold Davenport och Paul Erdős , som publicerade den 1936. Deras originalbevis använde Hardy-Littlewood tauberian theorem ; senare publicerade de ett annat, elementärt bevis.

Se även

• Behrend-sekvens , en sekvens $A$ för vilken densiteten $M(A)$ som beskrivs av denna sats är en