Behrend sekvens

I talteorin är en Behrend-sekvens en heltalssekvens vars multipler inkluderar nästan alla heltal. Sekvenserna är uppkallade efter Felix Behrend .

Definition

Om $A$ är en sekvens av heltal större än ett, och om $M(A)$ anger uppsättningen av positiva heltalsmultiplar av medlemmar av $A$ , då ${ \displaystyle A}$ är en Behrend-sekvens om $M(A)$ har naturlig densitet ett. Det betyder att andelen heltal från 1 till $n$ som tillhör $M(A)$ konvergerar, i gränsen för stora $n$ , till ett.

Exempel

Primtalen bildar en Behrend-sekvens, eftersom varje heltal större än ett är en multipel av ett primtal. Mer generellt bildar en underföljd $A$ av primtalen en Behrend-sekvens om och endast om summan av reciproka av $A$ divergerar.

Semiprimtalen , produkterna av två primtal, bildar också en Behrend-sekvens . De enda heltal som inte är multipler av ett semiprimtal är primtalspotenserna . Men eftersom primtalsfaktorerna har densitet noll, har deras komplement, multiplerna av semiprimtalen, täthet ett.

Historia

Problemet med att karakterisera dessa sekvenser beskrevs som "mycket svårt" av Paul Erdős 1979.

Dessa sekvenser kallades "Behrend-sekvenser" 1990 av Richard R. Hall, med en definition som använder logaritmisk densitet istället för naturlig densitet. Hall valde sitt namn för att hedra Felix Behrend , som bevisade att för en Behrend-sekvens ${\displaystyle A} måste$ summan av reciproka av $A$ divergera. Senare använde Hall och Gérald Tenenbaum naturlig densitet för att definiera Behrend-sekvenser i stället för logaritmisk densitet. Denna variation i definitioner gör ingen skillnad i vilka sekvenser som är Behrend-sekvenser, eftersom Davenport-Erdős-satsen visar att, för uppsättningar av multiplar, med naturlig densitet en och med logaritmisk densitet en är ekvivalenta.

Härledda sekvenser

När $A$ är en Behrend-sekvens, kan man härleda en annan Behrend-sekvens genom att utelämna ett ändligt antal element från ${\displaystyle A} .$

Varje Behrend-sekvens kan brytas ned i den osammanhängande föreningen av oändligt många Behrend-sekvenser.