Craps princip

I sannolikhetsteorin är craps -principen ett teorem om händelsesannolikheter under upprepade iid- försök . Låt $E_{1}$ och $E_{2}$ beteckna två ömsesidigt uteslutande händelser som kan inträffa under en given försök. Då är sannolikheten att $E_{1}$ inträffar före $E_{2}$ lika med den villkorade sannolikheten att $E_{1}$ inträffar givet att $E_ {1}$ eller $E_{2}$ inträffar vid nästa försök, dvs

$\operatörsnamn {P} [E_{1}\,\,{\text{före}}\,\,E_{2}]=\operatörsnamn {P} \left[E_{1}\mid E_{1}\cup E_{2} \right]={\frac {\operatörsnamn {P} [E_{1}]}{\operatörsnamn {P} [E_{1}]+\operatörsnamn {P} [E_{2}]}}$

Händelserna $E_{1}$ och $E_{2}$ behöver inte vara kollektivt uttömmande (om de är det är resultatet trivialt).

Bevis

Låt $A$ vara händelsen att $E_{1}$ inträffar före $E_{2}$ . Låt $B$ vara händelsen att varken $E_{1}$ eller $E_{2}$ inträffar på ett givet försök. Eftersom $B$ , $E_{1}$ och $E_{2}$ är ömsesidigt uteslutande och kollektivt uttömmande för den första försöket, har vi

$\operatörsnamn {P} (A)=\operatörsnamn {P} (E_{1})\operatörsnamn {P} (A\mid E_{1})+\operatörsnamn {P} (E_{2})\operatörsnamn {P} (A\mid E_{2})+\operatörsnamn {P} (B)\operatörsnamn {P} (A\mid B )=\operatörsnamn {P} (E_{1})+\operatörsnamn {P} (B)\operatörsnamn {P} (A\mid B)$

och $\operatörsnamn {P} (B)=1-\operatörsnamn {P} (E_{1})-\operatörsnamn {P} (E_{2})$ . Eftersom försöken är iid har vi $\operatörsnamn {P} (A\mid B)=\operatörsnamn {P} (A)$ . Använder $\operatörsnamn {P} (A|E_{1})=1,\quad \operatörsnamn {P} (A| E_{2})=0$ och lösa den visade ekvationen för $\operatorname {P} (A)$ ger formeln

$\operatörsnamn {P} (A)={\frac {\operatörsnamn {P} (E_{1 })}{\operatörsnamn {P} (E_{1})+\operatörsnamn {P} (E_{2})}}$ .

Ansökan

Om försöken är upprepningar av ett spel mellan två spelare, och händelserna är det

$E_{1}:\mathrm {player\ 1\ wins}$

$E_ {2}:\mathrm {spelare\ 2\ vinner}$

sedan ger craps-principen de respektive villkorade sannolikheterna för att varje spelare vinner en viss upprepning, givet att någon vinner (dvs. givet att oavgjort inte inträffar). Faktum är att resultatet bara påverkas av de relativa marginella sannolikheterna att vinna $\operatorname {P} [E_{1}]$ och $\operatorname {P } [E_{2}]$ ; i synnerhet är sannolikheten för oavgjort irrelevant.

Stoppar

Om spelet spelas upprepade gånger tills någon vinner, så är den villkorade sannolikheten ovan sannolikheten att spelaren vinner spelet. Detta illustreras nedan för det ursprungliga spelet craps , med ett alternativt bevis.

Craps exempel

Om spelet som spelas är craps , kan denna princip avsevärt förenkla beräkningen av sannolikheten att vinna i ett visst scenario. Specifikt, om det första kastet är en 4, 5, 6, 8, 9 eller 10, rullas tärningarna upprepade gånger om tills en av två händelser inträffar:

$E_{1}:{\text{ det ursprungliga kastet (kallat 'the point') kastas (en vinst) }}$

$E_{2}:{\text{ en 7:a kastas (en förlust) }}$

Eftersom $E_{1}$ och $E_{2}$ utesluter varandra, gäller craps-principen. Till exempel, om det ursprungliga kastet var en 4:a, så är sannolikheten att vinna

${\frac {3/36}{3/36+6/36}}={\frac {1}{3}}$

Detta undviker att behöva summera den oändliga serien som motsvarar alla möjliga utfall:

$\sum _{i=0}^{\infty }\operatörsnamn {P} [{\ text{första i-kastningen är slips,}}(i+1)^{\text{th}}{\text{rullen är 'punkten'}}]$

Matematiskt kan vi uttrycka sannolikheten för att rulla $i$ -band följt av att rulla punkten:

$\operatörsnamn {P} [{\text{första i-kastningen är oavgjort, }}(i+1)^{\text{th}}{\text{rullen är 'punkten'}}]=(1-\operatörsnamn {P} [E_{1}]-\operatörsnamn {P} [E_{2}])^{i}\operatörsnamn {P} [E_{1}]$

Summeringen blir en oändlig geometrisk serie :

$\sum _{i=0}^{\infty }(1-\operatörsnamn {P} [E_{1}]-\operatörsnamn {P} [E_{2}]) ^{i}\operatörsnamn {P} [E_{1}]=\operatörsnamn {P} [E_{1}]\summa _{i=0}^{\infty }(1-\operatörsnamn {P} [E_ {1}]-\operatörsnamn {P} [E_{2}])^{i}$

$={\frac {\operatörsnamn {P} [E_{1}]}{1-(1-\operatörsnamn {P} [ E_{1}]-\operatörsnamn {P} [E_{2}])}}={\frac {\operatörsnamn {P} [E_{1}]}{\operatörsnamn {P} [E_{1}]+ \operatörsnamn {P} [E_{2}]}}$

vilket stämmer överens med det tidigare resultatet.

Anteckningar

•   Pitman, Jim (1993). Sannolikhet . Berlin: Springer-Verlag. sid. 210. ISBN 0-387-97974-3 .