Cramers teorem (algebraiska kurvor)

Inom algebraisk geometri ger Cramers teorem om algebraiska kurvor det nödvändiga och tillräckliga antalet punkter i det verkliga planet som faller på en algebraisk kurva för att unikt bestämma kurvan i icke- degenererade fall. Detta nummer är

${\frac {n(n+3)}{2}},$

där n är kurvans grad . Satsen beror på Gabriel Cramer , som publicerade den 1750.

Till exempel bestäms en linje (av grad 1) av 2 distinkta punkter på den: en och endast en linje går genom dessa två punkter. På samma sätt bestäms en icke-degenererad konisk ( polynomekvation i x och y med summan av deras potenser i någon term som inte överstiger 2, alltså med grad 2) unikt av 5 punkter i allmän position (varav inga tre är på en rak linje).

Intuitionen av det koniska fallet är detta: Antag att de givna punkterna faller på, specifikt, en ellips . Då är fem informationsbitar nödvändiga och tillräckliga för att identifiera ellipsen – den horisontella platsen för ellipsens centrum, den vertikala platsen för mitten, den stora axeln (längden på det längsta ackordet), den lilla axeln ( längden på den kortaste korda genom centrum, vinkelrätt mot storaxeln), och ellipsens rotationsorientering (i vilken utsträckning storaxeln avviker från horisontalen). Fem punkter i den allmänna positionen räcker för att ge dessa fem uppgifter, medan fyra punkter inte gör det.

Härledning av formeln

Antalet distinkta termer (inklusive de med en nollkoefficient) i en n -te gradens ekvation i två variabler är ( n + 1)( n + 2) / 2. Detta beror på att n -te gradens termer är $x^{n},\,x^{n-1}y^{1},\,\dots ,\,y^{n},$ numrering n + 1 totalt; gradtermerna ( n − 1) är $x^{n-1},\,x^{n-2}y^ {1},\,\dots ,\,y^{n-1},$ numrerande n totalt; och så vidare genom de första gradens termer $x$ och $y,$ numrerar 2 totalt, och den enda nollgradstermen (konstanten). Summan av dessa är ( n + 1) + n + ( n – 1) + ... + 2 + 1 = ( n + 1)( n + 2) / 2 led, var och en med sin egen koefficient . En av dessa koefficienter är dock redundant för att bestämma kurvan, eftersom vi alltid kan dividera genom polynomekvationen med vilken som helst av koefficienterna, vilket ger en ekvivalent ekvation med en koefficient fixerad till 1, och därmed [( n + 1 ) ( n + 2) / 2] − 1 = n ( n + 3) / 2 återstående koefficienter.

Till exempel har en fjärdegradsekvation den allmänna formen

$x^{4}+c_{1}x^{3}y+c_{2} x^{2}y^{2}+c_{3}xy^{3}+c_{4}y^{4}+c_{5}x^{3}+c_{6}x^{2} y+c_{7}xy^{2}+c_{8}y^{3}+c_{9}x^{2}+c_{10}xy+c_{11}y^{2}+c_{ 12}x+c_{13}y+c_{14}=0,$

med 4(4+3)/2 = 14 koefficienter.

Att bestämma en algebraisk kurva genom en uppsättning punkter består av att bestämma värden för dessa koefficienter i den algebraiska ekvationen så att var och en av punkterna uppfyller ekvationen. Givet n ( n + 3) / 2 poäng ( x _i , y _i ), kan var och en av dessa punkter användas för att skapa en separat ekvation genom att ersätta den i den allmänna polynomekvationen av grad n , vilket ger n ( n + 3) / 2 ekvationer linjära i n ( n + 3) / 2 okända koefficienter. Om detta system är icke-degenererat i betydelsen att det har en determinant som inte är noll , bestäms de okända koefficienterna unikt och följaktligen bestäms polynomekvationen och dess kurva unikt. Fler än detta antal punkter skulle vara överflödiga, och färre skulle vara otillräckligt för att lösa ekvationssystemet unikt för koefficienterna.

Degenererade fall

Ett exempel på ett degenererat fall, där n ( n + 3) / 2 punkter på kurvan inte är tillräckliga för att bestämma kurvan unikt, gav Cramer som en del av Cramers paradox . Låt graden vara n = 3, och låt nio punkter vara alla kombinationer av x = –1, 0, 1 och y = –1, 0, 1. Mer än en kubik innehåller alla dessa punkter, nämligen alla kubik i ekvation $a(x^{3}-x)+b(y^{3}-y)=0.$ Dessa punkter gör alltså inte bestäm en unik kubik, även om det finns n ( n + 3) / 2 = 9 av dem. Mer generellt finns det oändligt många kubik som passerar genom de nio skärningspunkterna för två kubik ( Bézouts teorem antyder att två kubik har i allmänhet nio skärningspunkter)

På samma sätt, för det koniska fallet med n = 2, om tre av fem givna punkter alla faller på samma räta linje, kanske de inte entydigt bestämmer kurvan.

Begränsade fall

Om kurvan krävs för att vara i en viss underkategori av n -:e gradens polynomekvationer, kan färre än n ( n + 3) / 2 punkter vara nödvändiga och tillräckligt för att bestämma en unik kurva. Till exempel ges den generiska cirkeln av ekvationen $(xa)^{2}+(yb)^{2}=r^{2 }$ där mitten är placerad vid ( a , b ) och radien är r . På motsvarande sätt, genom att expandera de kvadratiska termerna, är den generiska ekvationen $x^{2}-2ax+y^{2}-2by=k,$ där $k=r^{2}-a^{2}-b^{2}.$ Två begränsningar har införts här jämfört med det allmänna koniska fallet med n = 2: termens koefficient i xy är begränsad till lika med 0, och koefficienten för y ² är begränsad till att vara lika med koefficienten för x ² . I stället för att fem punkter behövs, behövs alltså bara 5 – 2 = 3, vilket sammanfaller med de 3 parametrarna a , b , k (motsvarande a , b , r ) som behöver identifieras.

Se även

• Fem punkter bestämmer en kon