Cracovian

För personer från staden Krakow, se Kraków .

I astronomiska och geodetiska beräkningar är Cracovians en prästlig bekvämlighet som introducerades på 1930-talet av Tadeusz Banachiewicz för att lösa system av linjära ekvationer för hand. Sådana system kan skrivas som A x = b i matrisnotation där x och b är kolumnvektorer och utvärderingen av b kräver multiplikation av raderna i A med vektorn x .

Cracovians introducerade idén att använda transponeringen av A , A T , ^och multiplicera kolumnerna i A ^T med kolumnen x . Detta motsvarar definitionen av en ny typ av matrismultiplikation som här betecknas med '∧'. Alltså x ∧ A ^T = b = A x . Den krakoviska produkten av två matriser, säg A och B , definieras av A ∧ B = B ^T A , där B ^T och A antas vara kompatibla för den vanliga ( Cayley ) typen av matrismultiplikation.

Eftersom ( AB ) ^T = B ^T A ^{T kommer} produkterna ( A ∧ B ) ∧ C och A ∧ ( B ∧ C ) i allmänhet att vara olika; sålunda är Cracovian multiplikation icke- associativ . Cracovianer är ett exempel på en kvasigrupp .

Cracovians antog en kolumnradskonvention för att utse enskilda element i motsats till standardradkolumnkonventionen för matrisanalys. Detta gjorde manuell multiplikation lättare, eftersom man behövde följa två parallella kolumner (istället för en vertikal kolumn och en horisontell rad i matrisnotationen.) Det påskyndade också datorberäkningar, eftersom båda faktorernas element användes i en liknande ordning, vilket var mer kompatibelt med det sekventiella åtkomstminnet i datorer på den tiden - mestadels magnetbandsminne och trumminne . Användningen av Cracovians inom astronomi bleknade då datorer med större random access-minne kom till allmän användning. Varje modern referens till dem är i samband med deras icke-associativa multiplikation.

I programmering

I R kan den önskade effekten uppnås via crossprod() -funktionen. Specifikt kan den krakoviska produkten av matriserna A och B erhållas som crossprod(B, A) .

• Banachiewicz, T. (1955). Vistas in Astronomy , vol. 1, nummer 1, s 200–206.
• Herget, Paul; (1948, omtryckt 1962). The computation of orbits, University of Cincinnati Observatory (privatpublicerad). Asteroid 1751 är uppkallad efter författaren.
• Kocinski, J. (2004). Cracovian Algebra , Nova Science Publishers.