Coulomb vågfunktion

Oregelbunden Coulomb-vågfunktion G plottad från 0 till 20 med frånstötande och attraktiva interaktioner i Mathematica 13.1

bild av komplex plot av vanlig Coulomb-vågfunktion tillagd

Inom matematiken är en Coulomb-vågfunktion en lösning av Coulombs vågekvation , uppkallad efter Charles-Augustin de Coulomb . De används för att beskriva beteendet hos laddade partiklar i en Coulomb-potential och kan skrivas i termer av konfluenta hypergeometriska funktioner eller Whittaker-funktioner av imaginära argument.

Coulombs vågekvation

Coulombs vågekvation för en enstaka laddad partikel med massan $m$ är Schrödinger-ekvationen med Coulomb potential

$\left(-\hbar ^{2} {\frac {\nabla ^{2}}{2m}}+{\frac {Z\hbar c\alpha }{r}}\right)\psi _{\vec {k}}({\vec {r }})={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}\psi _{\vec {k}}({\vec {r}})\,,$

där $Z=Z_{1}Z_{2}$ är produkten av laddningarna av partikeln och av fältkällan (i enheter av elementärladdningen , Z = $displaystyle Z=-1}$ för väteatomen), $\alpha$ är finstrukturkonstanten , och $\hbar ^{2}k^{2}/ (2m)$ är partikelns energi. Lösningen – Coulomb-vågfunktionen – kan hittas genom att lösa denna ekvation i paraboliska koordinater

$\xi =r+{\vec {r}}\cdot {\hat {k}},\quad \zeta =r-{\vec {r}}\cdot {\hat {k}}\qquad ( {\hat {k}}={\vec {k}}/k)\,.$

Beroende på de valda randvillkoren har lösningen olika former. Två av lösningarna är

$\psi _{\vec {k}}^{(\pm )}({\vec {r}})=\Gamma (1\pm i\eta )e^{-\pi \eta /2}e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}M(\mp i\eta ,1,\pm ikr-i{\vec {k}}\cdot {\ vec {r}})\,,$

där $M(a,b,z)\equiv {}_{1}\!F_{1}(a;b; z)$ är den konfluenta hypergeometriska funktionen , $\eta =Zmc\alpha /(\hbar k)$ och $\Gamma (z)$ är gammafunktionen . De två randvillkoren som används här är

$\psi _{\vec {k}}^{(\pm )}( {\vec {r}})\högerpil e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}\qquad ({\vec {k}}\cdot {\vec {r}} \rightarrow \pm \infty )\,,$

som motsvarar ${\vec {k}}$ -orienterade asymptotiska planvågstillstånd före respektive efter dess närmande till fältkällan vid origo. Funktionerna $\psi _{\vec {k}}^{(\pm )}$ är relaterade till varandra med formeln

$\psi _{\vec {k}}^{(+)}=\psi _{-{\vec {k}}}^{(-)*}\,.$

Partiell vågexpansion

Vågfunktionen $\psi _{\vec {k}}({\vec {r}})$ kan expanderas till partiella vågor (dvs. med avseende på vinkelbasen) för att erhålla vinkeloberoende radiella funktioner $w_{\ell }(\eta ,\rho )$ . Här $\rho =kr$ .

$\psi _{\vec {k}}({\vec {r}})={\frac {4\pi }{r}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\ summa _{m=-\ell }^{\ell }i^{\ell }w_{\ell }(\eta ,\rho )Y_{\ell }^{m}({\hat {r}}) Y_{\ell }^{m\ast}({\hat {k}})\,.$

En enda term av expansionen kan isoleras av den skalära produkten med en specifik sfärisk överton

$\psi _{k\ell m}({\vec {r}})=\int \psi _{\vec {k}}({\vec {r}})Y_{\ell }^{ m}({\hat {k}})d{\hat {k}}=R_{k\ell}(r)Y_{\ell }^{m}({\hat {r}}),\qquad R_{k\ell }(r)=4\pi i^{\ell }w_{\ell }(\eta ,\rho )/r.$

Ekvationen för enkel partiell våg $w_{\ell }(\eta ,\rho )$ kan erhållas genom att skriva om laplacianen i Coulombs vågekvation i sfäriska koordinater och projicera ekvationen på en specifik sfärisk överton $Y_{\ell }^{m}({\hat {r}})$

${\frac {d^{2}w_{\ell }}{d\rho ^{2}}}+\left(1-{\frac {2\eta }{\rho }}-{\ frac {\ell (\ell +1)}{\rho ^{2}}}\right)w_{\ell }=0\,.$

Lösningarna kallas även Coulomb (partiella) vågfunktioner eller sfäriska Coulomb funktioner. Genom att sätta $z=-2i\rho$ ändras Coulombs vågekvation till Whittakers ekvation , så Coulombs vågfunktioner kan uttryckas i termer av Whittaker-funktioner med imaginära argument ${\displaystyle M_{-i\eta ,\ell +1/2}(-2i\rho$${ \displaystyle W_{-i\eta ,\ell +1/2}(-2i\rho )}$ och . Det senare kan uttryckas i termer av de konfluenta hypergeometriska funktionerna $M$ och $U$ . För $\ell \in \mathbb {Z}$ definierar man speciallösningarna

$H_{\ell }^{(\pm )}(\eta ,\rho )=\mp 2i(-2)^{\ell }e^{\pi \eta / 2}e^{\pm i\sigma _{\ell }}\rho ^{\ell +1}e^{\pm i\rho }U(\ell +1\pm i\eta ,2\ell + 2,\mp 2i\rho )\,,$

var

$\sigma _{\ell }=\arg \Gamma (\ell +1+i\eta )$

kallas Coulombs fasförskjutning. Man definierar också de verkliga funktionerna

$F_{\ell }(\eta,\rho) ={\frac {1}{2i}}\left(H_{\ell }^{(+)}(\eta ,\rho )-H_{\ell }^{(-)}(\eta ,\rho )\höger)\,,$

Regelbunden Coulomb-vågfunktion F plottad från 0 till 20 med frånstötande och attraktiva interaktioner i Mathematica 13.1

$G_{\ell }(\eta ,\rho )={\frac {1}{2}}\left(H_{\ell }^{(+)}(\eta ,\rho )+H_{ \ell }^{(-)}(\eta ,\rho )\right)\,.$

I synnerhet har man

$F_{\ell }(\eta ,\rho )={\frac {2^{\ell }e^{-\pi \eta /2}|\Gamma (\ell +1+i\eta ) |}{(2\ell +1)!}}\rho ^{\ell +1}e^{i\rho }M(\ell +1+i\eta ,2\ell +2,-2i\rho )\,.$

Det asymptotiska beteendet hos de sfäriska Coulomb-funktionerna $H_{\ell }^{(\pm )}(\eta ,\rho )$ , ${ \displaystyle F_{\ell }(\eta ,\rho )}$ , och $G_{\ell }(\eta ,\rho )$ i stort $\rho$ är

$H_{\ell }^{(\pm )}(\eta ,\rho )\sim e^{\pm i \theta _{\ell }(\rho )}\,,$

$F_{\ell }(\eta ,\rho )\sim \ sin \theta _{\ell }(\rho )\,,$

$G_{\ell }(\eta ,\rho )\sim \ cos \theta _{\ell }(\rho )\,,$

var

$\theta _{\ell }(\rho )=\rho -\eta \log(2\rho )-{\frac {1}{2}}\ell \pi +\sigma _{\ell } \,.$

Lösningarna $H_{\ell }^{(\pm )}(\eta ,\rho )$ motsvarar inkommande och utgående sfäriska vågor. Lösningarna $F_{\ell }(\eta ,\rho )$ och $G_{\ell }(\eta ,\rho )$ är verkliga och kallas de vanliga och oregelbundna Coulomb-vågfunktionerna. I synnerhet har man följande partiella vågexpansion för vågfunktionen $\psi _{\vec {k}}^{(+)}({\vec {r}} )$

$\psi _{\vec {k}}^{(+)}({\vec {r}})={\frac {4\pi }{\rho }}\summa _{\ ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }i^{\ell }e^{i\sigma _{\ell }}F_{\ell }(\eta ,\rho )Y_{\ell }^{m}({\hat {r}})Y_{\ell }^{m\ast}({\hat {k}})\,,$

Egenskaper för Coulomb-funktionen

De radiella delarna för en given rörelsemängd är ortonormala. När den normaliseras på vågtalsskalan ( k -skalan), uppfyller de kontinuerliga radiella vågfunktionerna

$\int _{0}^{\infty }R_{k\ell }^{ \ast }(r)R_{k'\ell }(r)r^{2}dr=\delta (kk')$

Andra vanliga normaliseringar av kontinuumvågfunktioner är på den reducerade vågtalsskalan ( $k/2\pi$ -skalan),

$\int _{0}^{\infty }R_{k\ell }^{\ast }(r)R_{k'\ell}(r)r^{2}dr=2\pi \delta (kk')\,,$

och på energiskalan

$\int _{0}^{\infty }R_{E\ell }^{\ast }(r)R_{E'\ell}(r)r^{2}dr=\delta (EE' )\,.$

De radiella vågfunktionerna som definierats i föregående avsnitt är normaliserade till

$\int _{0}^{\infty }R_ {k\ell }^{\ast }(r)R_{k'\ell}(r)r^{2}dr={\frac {(2\pi )^{3}}{k^{2} }}\delta (kk')$

som en konsekvens av normaliseringen

$\int \psi _{\vec {k}}^{\ast }({\vec {r}})\psi _{{\vec {k}}'}({\vec {r}} )d^{3}r=(2\pi )^{3}\delta ({\vec {k}}-{\vec {k}}')\,.$

Kontinuumet (eller spridningen) Coulomb-vågfunktionerna är också ortogonala mot alla Coulomb-bundna tillstånd

$\int _{0}^{\infty }R_{k\ell }^{\ast }(r)R_{ n\ell }(r)r^{2}dr=0$

på grund av att de är egentillstånd för samma hermitiska operator (hamiltonian ) med olika egenvärden .

Vidare läsning

• Bateman, Harry (1953), Högre transcendentala funktioner (PDF) , vol. 1, McGraw-Hill .
•    Jaeger, JC; Hulme, HR (1935), "Den interna omvandlingen av γ-strålar med produktion av elektroner och positroner", Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences , 148 (865): 708–728, Bibcode : 1935RSPSA.148..708J , doi : 10.1098/rspa.1935.0043 , ISSN 0080-46306 , JSTOR 96
•   Slater, Lucy Joan (1960), Confluent hypergeometric functions , Cambridge University Press , MR 0107026 .