Conway triangel notation

Inom geometri tillåter Conwaytriangelnotationen , uppkallad efter John Horton Conway , att trigonometriska funktioner i en triangel hanteras algebraiskt. Givet en referenstriangel vars sidor är a , b och c och vars motsvarande inre vinklar är A , B och C så representeras Conwaytriangelnotationen helt enkelt enligt följande:

S=bc\sin A=ac\sin B=ab\sin C\,

där S = 2 × arean av referenstriangeln och

S_{\varphi }=S\cot \varphi .\,

särskilt

S_{A}=S\cot A=bc\cos A={\frac {b^{2} +c^{2}-a^{2}}{2}}\,

S_{B} =S\cot B=ac\cos B={\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}}\,

S_{C}=S\cot C=ab\cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{ 2}}{2}}\,

S_{\omega }=S\cot \omega ={\frac {a^{2 }+b^{2}+c^{2}}{2}}\,

där

\omega \,

är Brocard-vinkeln . Cosinuslagen används:

\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A}

{ .

S_{\frac {\pi }{3}}=S\cot {\frac {\pi }{3}}=S{\frac {\ sqrt {3}}{3}}\,

S_{2\varphi }={\ frac {S_{\varphi }^{2}-S^{2}}{2S_{\varphi }}}\quad \quad S_{\frac {\varphi}{2}}=S_{\varphi }+{ \sqrt {S_{\varphi }^{2}+S^{2}}}\,

för värden på

\varphi

där

0<\varphi <\pi \,

S_{\vartheta +\varphi }={\frac {S_{\vartheta }S_{\varphi }-S^{2}}{S_{\vartheta }+S_{\varphi }}}\quad \ quad S_{\vartheta -\varphi }={\frac {S_{\vartheta }S_{\varphi }+S^{2}}{S_{\varphi }-S_{\vartheta }}}\,.

Dessutom använder konventionen en förkortning för $S_{\vartheta }S_{\varphi }=S_{\vartheta \varphi }\,$ och $S_{\vartheta }S_{\varphi }S_{\psi }=S_{\vartheta \varphi \psi }\,.$

Därav:

\sin A={\frac { S}{bc}}={\frac {S}{\sqrt {S_{A}^{2}+S^{2}}}}\quad \quad \cos A={\frac {S_{A} }{bc}}={\frac {S_{A}}{\sqrt {S_{A}^{2}+S^{2}}}}\quad \quad \tan A={\frac {S} {S_{A}}}\,

a^{2}=S_{B}+S_{C}\quad \quad b^{2}=S_{A}+S_{C}\quad \quad c^{2}=S_{A }+S_{B}\,.

Några viktiga identiteter:

\sum _{\text{cyklisk}}S_{A}=S_{A}+S_{B}+S_{C}=S_ {\omega }\,

S^{2}=b^{2} c^{2}-S_{A}^{2}=a^{2}c^{2}-S_{B}^{2}=a^{2}b^{2}-S_{C} ^{2}\,

S_{BC}=S_{B}S_{C}=S^{2}-a^{2}S_{A}\quad \quad S_{AC}=S_{A} S_{C}=S^{2}-b^{2}S_{B}\quad \quad S_{AB}=S_{A}S_{B}=S^{2}-c^{2}S_ {C}\,

S_{ABC}=S_{ A}S_{B}S_{C}=S^{2}(S_{\omega }-4R^{2})\quad \quad S_{\omega }=s^{2}-r^{2} -4rR\,

där R är cirkumradien och abc = 2 SR och där r är mitten , $s={\frac {a+b+c}{2}}\,$ och $a+b+c={\frac {S}{r}}\,.$

Några användbara trigonometriska omvandlingar:

\sin A\sin B\sin C={\frac { S}{4R^{2}}}\quad \quad \cos A\cos B\cos C={\frac {S_{\omega }-4R^{2}}{4R^{2}}}

\sum _{\text{cyklisk}}\sin A={\frac {S}{2Rr}}={\frac {s}{R}}\quad \quad \sum _{\text{cyklisk }}\cos A={\frac {r+R}{R}}\quad \quad \sum _{\text{cyklisk}}\tan A={\frac {S}{S_{\omega }-4R ^{2}}}=\tan A\tan B\tan C\,.

Några användbara formler:

\sum _{\text{cyklisk }}a^{2}S_{A}=a^{2}S_{A}+b^{2}S_{B}+c^{2}S_{C}=2S^{2}\quad \ quad \summa _{\text{cyklisk}}a^{4}=2(S_{\omega }^{2}-S^{2})\,

\sum _{\text{cyklisk}}S_{A}^{2}=S_{\omega }^{2}-2S^{2}\quad \quad \sum _{\text{cyklisk} }S_{BC}=\summa _{\text{cyklisk}}S_{B}S_{C}=S^{2}\quad \quad \summa _{\text{cyklisk}}b^{2}c ^{2}=S_{\omega }^{2}+S^{2}\,.

Några exempel med Conway-triangelnotation:

Låt D vara avståndet mellan två punkter P och Q vars trilinjära koordinater är p _a : p _b : p _c och q _a : q _b : q _c . Låt K _p = ap _a + bp _b + cp _c och låt K _q = aq _a + bq _b + cq _c . Då D av formeln: