Coiflet

Coiflet med två försvinnande ögonblick

Coiflets är diskreta wavelets designade av Ingrid Daubechies , på begäran av Ronald Coifman , för att ha skalningsfunktioner med försvinnande ögonblick . Waveleten är nästan symmetrisk, deras waveletfunktioner har $N/3$ försvinnande moment och skalningsfunktioner $N/3-1$ och har använts i många applikationer med Calderón– Zygmund-operatörer .

Teori

Några satser om Coiflets:

Sats 1

För ett wavelet-system ${\displaystyle \{\phi ,{\tilde {\phi }},\psi ,{\tilde {\ psi }},h,{\tilde {h}},g,{\tilde {g}}\}} ,$ följande tre ekvationer är ekvivalenta:

${\begin{array}{lcl}{\mathcal {M_{\tilde {\psi }}}}(0,l]=0&{\text {för }}l=0,1,\ldots ,L-1\\\summa _{n}(-1)^{n}n^{l}h[n]=0&{\text{för }} l=0,1,\ldots ,L-1\\H^{(l)}(\pi )=0&{\text{för }}l=0,1,\ldots ,L-1\end{array }}$

och liknande ekvivalens gäller mellan $\psi$ och ${\tilde {h}}$

Sats 2

För ett wavelet-system ${\displaystyle \{\phi ,{\tilde {\phi }},\psi ,{\tilde {\ psi }},h,{\tilde {h}},g,{\tilde {g}}\}} ,$ följande sex ekvationer är ekvivalenta:

${\begin {array}{lcl}{\mathcal {M_{\tilde {\phi }}}}(t_{0},l]=\delta [l]&{\text{för }}l=0,1,\ ldots ,L-1\\{\mathcal {M_{\tilde {\phi }}}}(0,l]=t_{0}^{l}&{\text{för }}l=0,1, \ldots ,L-1\\{\hat {\phi }}^{(}l)(0)=(-jt_{0})^{t}&{\text{för }}l=0,1 ,\ldots ,L-1\\\summa _{n}(n-t_{0})^{l}h[n]=\delta [l]&{\text{för }}l=0,1 ,\ldots ,L-1\\\sum _{n}n^{l}h[n]=t_{0}^{l}&{\text{för }}l=0,1,\ldots , L-1\\H^{(l)}(0)=(-jt_{0})^{t}&{\text{för }}l=0,1,\ldots ,L-1\\\ slut{array}}$

och liknande ekvivalens gäller mellan ${\tilde {\psi }}$ och ${\tilde {h}}$

Sats 3

För ett biortogonalt vågsystem ${\displaystyle \{\phi ,\psi ,{\tilde {\phi }},{\tilde {\psi }}\}}, om någon$ av ${\tilde {\psi }}$ eller $\psi$ har en grad L av försvinnande moment, då är följande två ekvationer ekvivalenta:

${ \displaystyle {\begin{array}{lcl}{\mathcal {M_{\tilde {\psi }}}}(t_{0},l]=\delta [l]&{\text{för }}l= 0,1,\ldots ,{\bar {L}}-1\\{\mathcal {M_{\psi }}}(t_{0},l]=\delta [l]&{\text{för } }l=0,1,\ldots ,{\bar {L}}-1\\\end{array}}}$

för alla ${\bar {L}}$ så att ${\bar {L}}\ll L$

Coiflet koefficienter

Både skalningsfunktionen (lågpassfilter) och waveletfunktionen (högpassfilter) måste normaliseras med en faktor $1/{\sqrt {2$ . Nedan visas koefficienterna för skalningsfunktionerna för C6–30. Wavelet-koefficienterna härleds genom att vända ordningen på skalfunktionskoefficienterna och sedan reversera tecknet för varannan (dvs. C6 wavelet = {−0.022140543057, 0.102859456942, 0.5442810861926, 8−418.905, 718.905, 8−418.905, 8−418.905, 8−4140543057 56942, 0,102859456942}).

Matematiskt ser detta ut som ${\displaystyle B_{k}=(-1)^{k}C_{N-1-k}},$ där k är koefficienten index, B är en wavelet-koefficient och C en skalningsfunktionskoefficient. N är wavelet-index, dvs 6 för C6.

Coiflets koefficienter (normaliserad till att ha summa 2)

k	C6	C12	C18	C24	C30
−10					−0,0002999290456692
−9					0,0005071055047161
−8				0,0012619224228619	0,0030805734519904
−7				−0,00230444502875399	−0,0058821563280714
−6			−0,0053648373418441	−0,0103890503269406	−0,0143282246988201
−5			0,0110062534156628	0,0227249229665297	0,0331043666129858
−4		0,0231751934774337	0,0331671209583407	0,0377344771391261	0,0398380343959686
−3		−0,0586402759669371	−0,0930155289574539	−0,1149284838038540	−0,1299967565094460
−2	−0,1028594569415370	−0,0952791806220162	−0,0864415271204239	−0,0793053059248983	−0,0736051069489375
−1	0,4778594569415370	0,5460420930695330	0,5730066705472950	0,5873348100322010	0,5961918029174380
0	1,2057189138830700	1,1493647877137300	1,1225705137406600	1,1062529100791000	1,0950165427080700
1	0,5442810861169260	0,5897343873912380	0,6059671435456480	0,6143146193357710	0,6194005181568410
2	−0,1028594569415370	−0,1081712141834230	−0,1015402815097780	−0,0942254750477914	−0,0877346296564723
3	−0,0221405430584631	−0,0840529609215432	−0,1163925015231710	−0,1360762293560410	−0,1492888402656790
4		0,0334888203265590	0,0488681886423339	0,0556272739169390	0,0583893855505615
5		0,0079357672259240	0,0224584819240757	0,0354716628454062	0,0462091445541337
6		−0,0025784067122813	−0,0127392020220977	−0,0215126323101745	−0,0279425853727641
7		−0,0010190107982153	−0,0036409178311325	−0,0080020216899011	−0,0129534995030117
8			0,0015804102019152	0,0053053298270610	0,0095622335982613
9			0,0006593303475864	0,0017911878553906	0,0034387669687710
10			−0,0001003855491065	−0,0008330003901883	−0,0023498958688271
11			−0,0000489314685106	−0,0003676592334273	−0,0009016444801393
12				0,0000881604532320	0,0004268915950172
13				0,0000441656938246	0,0001984938227975
14				−0,0000046098383254	−0,0000582936877724
15				−0,0000025243583600	−0,0000300806359640
16					0,0000052336193200
17					0,0000029150058427
18					-0,0000002296399300
19					−0,0000001358212135

Matlab funktion

F = coifwavf(W) returnerar skalningsfiltret som är associerat med Coiflet-vågen specificerad av strängen W där W = 'coifN'. Möjliga värden för N är 1, 2, 3, 4 eller 5.