Clairauts relation (differentialgeometri)
I klassisk differentialgeometri är Clairauts relation , uppkallad efter Alexis Claude de Clairaut , en formel som kännetecknar de stora cirkelbanorna på enhetssfären . Formeln säger att om γ är en parametrisering av en storcirkel då
där ρ ( P ) är avståndet från en punkt P på storcirkeln till z -axeln, och ψ ( P ) är vinkeln mellan storcirkeln och meridianen genom punkten P .
Relationen förblir giltig för en geodetisk yta på en godtycklig rotationsyta .
Ett uttalande av den allmänna versionen av Clairauts relation är:
Låt γ vara en geodetik på en rotationsyta S , låt ρ vara avståndet för en punkt i S från rotationsaxeln och låt ψ vara vinkeln mellan γ och meridianen för S . Då är ρ sin ψ konstant längs γ. Omvänt, om ρ sin ψ är konstant längs någon kurva γ i ytan, och om ingen del av γ är en del av någon parallell av S , så är γ en geodetisk.
— Andrew Pressley: Elementary Differential Geometry , sid. 183
Pressley (s. 185) förklarar detta teorem som ett uttryck för bevarande av rörelsemängd kring rotationsaxeln när en partikel rör sig längs en geodetisk under inga andra krafter än de som håller den på ytan.
- M. do Carmo , Differential Geometry of Curves and Surfaces , sidan 257.