Cirkulär algebraisk kurva

₀ Inom geometri är en cirkulär algebraisk kurva en typ av plan algebraisk kurva som bestäms av en ekvation F ( x , y ) = 0, där F är ett polynom med reella koefficienter och de högsta ordningens termer av F bildar ett polynom som är delbart med x ² + y ² . Närmare bestämt, om F = F _n + F _{n −1} + ... + F ₁ + F , där varje F _i är homogen med grad i , så är kurvan F ( x , y ) = 0 cirkulär om och endast om F _n är delbart med x ² + y ² .

På motsvarande sätt, om kurvan bestäms i homogena koordinater av G ( x , y , z ) = 0, där G är ett homogent polynom, så är kurvan cirkulär om och endast om G (1, i , 0) = G (1) , − i , 0) = 0. Med andra ord är kurvan cirkulär om den innehåller de cirkulära punkterna vid oändligheten , (1, i , 0) och (1, − i , 0), när den betraktas som en kurva i komplext projektivt plan .

Multicirkulära algebraiska kurvor

En algebraisk kurva kallas p -cirkulär om den innehåller punkterna (1, i , 0) och (1, − i , 0) när de betraktas som en kurva i det komplexa projektiva planet, och dessa punkter är singulariteter av minst p . Termerna bicirkulär , tricirkulär , etc. gäller när p = 2, 3, etc. I termer av polynomet F som anges ovan är kurvan F ( x , y ) = 0 p -cirkulär om F _{n − i} är delbar med ( x ² + y ² ) ^{p − i} när i < p . När p = 1 reduceras detta till definitionen av en cirkulär kurva. Uppsättningen av p -cirkulära kurvor är invariant under euklidiska transformationer . Observera att en p -cirkulär kurva måste ha grad på minst 2 p .

Uppsättningen av p -cirkulära kurvor av grad p + k , där p kan variera men k är ett fixerat positivt heltal, är invariant under inversion . ^{[ citat behövs ]} När k är 1 säger detta att mängden linjer (0-cirkulära kurvor av grad 1) tillsammans med mängden cirklar (1-cirkulära kurvor av grad 2) bildar en mängd som är invariant under inversion.

Exempel

Cirkeln är den enda cirkulära konen .
Conchoids av de Sluze (som inkluderar flera välkända kubiska kurvor) är cirkulära kubik.
Cassini-ovaler (inklusive lemniscaten av Bernoulli ), toriska sektioner och limaçoner (inklusive cardioid ) är bicirkulära quartics.
Watts kurva är en tricirkulär sextik.

Fotnoter