Chockfångande metod

Inom beräkningsvätskedynamik är stötfångande metoder en klass av tekniker för att beräkna inviscid flöden med stötvågor . Beräkningen av flödesinnehållande stötvågor är en extremt svår uppgift eftersom sådana flöden resulterar i skarpa, diskontinuerliga förändringar i flödesvariabler såsom tryck, temperatur, densitet och hastighet över stöten.

Metod

I stötfångande metoder gjuts de styrande ekvationerna för inviscid flöden (dvs. Euler-ekvationer ) i konserveringsform och eventuella stötvågor eller diskontinuiteter beräknas som en del av lösningen. Här används ingen speciell behandling för att själva ta hand om stötarna, vilket står i motsats till stötanpassningsmetoden, där stötvågor explicit införs i lösningen med hjälp av lämpliga stötförhållanden (Rankine–Hugoniot relationer ) . De stötvågor som förutsägs av stötfångningsmetoder är i allmänhet inte skarpa och kan smetas ut över flera rutnätselement. Klassiska stötfångande metoder har också nackdelen att ofysiska svängningar ( Gibbs-fenomen) kan utvecklas nära starka stötar.

Eulers ekvationer

Euler -ekvationerna är de styrande ekvationerna för inviscid flöde. För att implementera stötfångande metoder används Eulerekvationernas konserveringsform. För ett flöde utan extern värmeöverföring och arbetsöverföring (isoenergetiskt flöde) kan Eulerekvationens konserveringsform i kartesiskt koordinatsystem skrivas som

${\frac {\partial {\mathbf {U} }}{\partial t}}+{\frac {\partial {\mathbf {F} }}{\partial x}}+{\frac {\partial {\mathbf {G} }}{\partial y}}+{\frac {\partial {\mathbf {H} }} {\partial z}}=0$

där vektorerna U , F , G och H ges av

${\mathbf {U} }= \left[{\begin{array}{c}\rho \\\rho u\\\rho v\\\rho w\\\rho e_{t}\\\end{array}}\right]\quad {\mathbf {F} }=\left[{\begin{array}{c}\rho u\\\rho u^{2}+p\\\rho uv\\\rho uw\\(\rho e_ {t}+p)u\\\end{array}}\right]\quad {\mathbf {G} }=\left[{\begin{array}{c}\rho v\\\rho vu\\ \rho v^{2}+p\\\rho vw\\(\rho e_{t}+p)v\\\end{array}}\right]\quad {\mathbf {H} }=\left [{\begin{array}{c}\rho w\\\rho wu\\\rho wv\\\rho w^{2}+p\\(\rho e_{t}+p)w\\\ end{array}}\right]\qquad$

där $e_{t}$ är den totala energin (inre energi + kinetisk energi + potentiell energi) per massenhet. Det är

$e_{t}=e+{\frac {u^{2}+v^{2}+w^{2}}{2 }}+gz$

Euler-ekvationerna kan integreras med vilken som helst av de stötfångande metoder som finns tillgängliga för att erhålla lösningen.

Klassiska och moderna stötfångningsmetoder

Ur en historisk synvinkel kan stötfångningsmetoder klassificeras i två generella kategorier: klassiska metoder och moderna stötfångningsmetoder (även kallade högupplösta scheman). Moderna chockfångande metoder är i allmänhet vinklade i motsats till klassiska symmetriska eller centrala diskretiseringar. Uppvindsförspända differentialekvationer försöker diskretisera hyperboliska partiella differentialekvationer genom att använda differentiering baserat på flödesriktningen. Å andra sidan tar symmetriska eller centrala scheman inte hänsyn till någon information om riktningen för vågutbredning.

Oavsett vilket chockfångningsschema som används kräver en stabil beräkning i närvaro av chockvågor en viss mängd numerisk förlust, för att undvika bildandet av opysiska numeriska svängningar. I fallet med klassiska stötfångningsmetoder är numeriska dissipationstermer vanligtvis linjära och samma mängd appliceras enhetligt vid alla rutnätspunkter. Klassiska stötfångande metoder uppvisar endast exakta resultat i fallet med jämna och svaga stötlösningar, men när starka stötvågor finns i lösningen kan icke-linjära instabiliteter och oscillationer uppstå över diskontinuiteter. Moderna stötfångande metoder använder vanligtvis ickelinjär numerisk avledning, där en återkopplingsmekanism justerar mängden artificiell avledning som läggs till i enlighet med funktionerna i lösningen. I idealfallet behöver artificiell numerisk spridning endast läggas till i närheten av stötar eller andra vassa detaljer, och områden med jämnt flöde måste lämnas oförändrade. Dessa system har visat sig vara stabila och exakta även för problem som innehåller starka stötvågor.

Några av de välkända klassiska stötfångningsmetoderna inkluderar MacCormack-metoden (använder ett diskretiseringsschema för den numeriska lösningen av hyperboliska partiella differentialekvationer), Lax-Wendroff-metoden (baserad på ändliga skillnader, använder en numerisk metod för lösning av hyperboliska partiella differentialekvationer ), och Beam-Warming-metoden . Exempel på moderna chockfångande scheman inkluderar högre ordningens totala variationsminskande (TVD) scheman som först föreslogs av Harten , flödeskorrigerat transportschema introducerat av Boris och Book, Monotonic Upstream-centred Schemes for Conservation Laws (MUSCL) baserat på Godunovs synsätt och introducerade av van Leer , olika väsentligen icke-oscillerande scheman (ENO) föreslagna av Harten et al., och den bitvis paraboliska metoden (PPM) föreslagen av Colella och Woodward. En annan viktig klass av högupplösta system tillhör de ungefärliga Riemann-lösare som föreslagits av Roe och av Osher . De scheman som föreslås av Jameson och Baker, där linjära numeriska dissipationstermer beror på icke-linjära switchfunktioner, hamnar mellan de klassiska och moderna stötfångande metoderna.

Böcker

• Anderson, JD , "Modernt komprimerbart flöde med historiskt perspektiv", McGraw-Hill (2004).
• Hirsch, C., "Numerical Computing of Internal and External Flows", Vol. II, 2:a upplagan, Butterworth-Heinemann (2007).
• Laney, CB, "Computational Gasdynamics", Cambridge Univ. Press 1998).
• LeVeque, RJ , "Numerical Methods for Conservation Laws", Birkhauser-Verlag (1992).
• Tannehill, JC, Anderson, DA och Pletcher, RH, "Computational Fluid Dynamics and Heat Transfer", 2:a upplagan, Taylor & Francis (1997).
• Toro, EF, "Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics", 2:a upplagan, Springer-Verlag (1999).

Tekniska papper

• Boris, JP och Book, DL, "Flux-Corrected Transport III. Minimal Error FCT Algorithms", J. Comput. Phys., 20 , 397-431 (1976).
• Colella, P. och Woodward, P., "The Piecewise parabolic Method (PPM) for Gasdynamical Simulations", J. Comput. Phys., 54 , 174-201 (1984).
• Godunov, SK , "Ett skillnadsschema för numerisk beräkning av diskontinuerlig lösning av hyperboliska ekvationer", Mat. Sbornik, 47 , 271–306 (1959).
• Harten, A. , "High Resolution Schemes for Hyperbolic Conservation Laws", J. Comput. Phys., 49 , 357-293 (1983).
• Harten, A., Engquist, B. , Osher, S. och Chakravarthy, SR, "Uniformly High Order Accurate Essentially Non-Oscillatory Schemes III", J. Comput. Phys., 71 , 231-303 (1987).
• Jameson, A. och Baker, T., "Solution of the Euler Equations for Complex Configurations", AIAA Paper, 83–1929 (1983).
• MacCormack, RW, "The Effect of Viscoity in Hypervelocity Impact Cratering", AIAA Paper, 69–354 (1969).
• Roe, PL , " Approximate Riemann Solvers, Parameter Vectors and Difference Schemes ", J. Comput. Phys. 43 , 357-372 (1981).
• Shu, C.-W. , Osher, S., "Effektiv implementering av väsentligen icke-oscillerande chockfångningsscheman", J. Comput. Phys., 77 , 439-471 (1988).
• van Leer, B. , "Mot det ultimata konservativa skillnadsschemat V; En andra ordningens uppföljare till Godunovs uppföljare", J. Comput. Phys., 32 , 101-136, (1979).