Chebyshev ekvation

Chebyshevs ekvation är andra ordningens linjära differentialekvation

$(1-x^{2}){d^{2}y \over dx^{2}} -x{dy \over dx}+p^{2}y=0$

där p är en reell (eller komplex) konstant. Ekvationen är uppkallad efter den ryske matematikern Pafnuty Chebyshev .

Lösningarna kan erhållas genom kraftserier :

$y=\summa _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$

där koefficienterna följer återfallsrelationen

$a_{n+2}={(np)(n+p) \over (n+1)(n+2)}a_{n}.$

Serien konvergerar för $|x|<1$ (observera att x kan vara komplext), vilket kan ses genom att tillämpa ratiotestet på återkommande.

₀ Upprepningen kan startas med godtyckliga värden på a och a ₁ , vilket leder till det tvådimensionella utrymme av lösningar som uppstår från andra ordningens differentialekvationer. Standardvalen är:

₀ a = 1; a ₁ = 0, vilket leder till lösningen

$F(x)=1-{\frac {p^{2}}{2!}}x^{2}+{\frac {(p-2)p^{2}( p+2)}{4!}}x^{4}-{\frac {(p-4)(p-2)p^{2}(p+2)(p+4)}{6!} }x^{6}+\cdots$

och

₀ a = 0; a ₁ = 1, vilket leder till lösningen

$G(x)=x-{\frac {(p-1)(p+1)}{3!}}x^{3}+{\frac {(p-3)(p-1) (p+1)(p+3)}{5!}}x^{5}-\cdots .$

Den allmänna lösningen är vilken linjär kombination som helst av dessa två.

När p är ett icke-negativt heltal, slutar den ena eller den andra av de två funktionerna sin serie efter ett ändligt antal termer: F slutar om p är jämnt, och G slutar om p är udda. I det här fallet är den funktionen ett polynom av grad p och den är proportionell mot Chebyshev-polynomet av det första slaget

$T_{p}(x)=(-1)^{p/2}\ F(x)\,$ om p är jämnt

$T_{p}(x)=(-1)^{(p-1)/2}\ p\ G(x)\,$ om p är udda

Den här artikeln innehåller material från Chebyshevs ekvation på PlanetMath , som är licensierad under licensen Creative Commons Attribution/Dela Lika .