Chandrasekhar-Kendall funktion

Chandrasekhar-Kendall-funktioner är egenfunktionerna för curl -operatorn som härleds av Subrahmanyan Chandrasekhar och PC Kendall 1957 när de försökte lösa de kraftfria magnetfälten . Funktionerna härleddes oberoende av båda, och de två bestämde sig för att publicera sina resultat i samma tidning.

Om den kraftfria magnetfältsekvationen skrivs som ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\lambda \mathbf {H} } ,$ där $\mathbf {H}$ är magnetfältet och $\lambda$ är den kraftfria parametern, med antagandet om divergensfritt fält, $\nabla \cdot \mathbf {H} =0$ , då den mest generell lösning för det axisymmetriska fallet är

\mathbf {H} ={\frac {1}{\lambda }}\nabla \times (\nabla \times \psi \mathbf {\hat {n}} )+\nabla \times \psi \mathbf {\hat {n}}

där $\mathbf {\hat {n}}$ är en enhetsvektor och skalärfunktionen $\psi$ uppfyller Helmholtz-ekvationen , dvs.

\nabla ^{2}\psi +\lambda ^{2}\psi =0.

Samma ekvation förekommer även i Beltrami-flöden från vätskedynamik där virvelvektorn är parallell med hastighetsvektorn, dvs $\nabla \times \mathbf {v} =\lambda \mathbf {v }$ .

Härledning

Om vi tar ekvationens kurva $\nabla \times \mathbf {H} =\lambda \mathbf {H}$ och använder samma ekvation, får vi

\nabla \times (\nabla \times \mathbf {H} )=\lambda ^{2}\mathbf {H}

.

I vektoridentiteten $\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {H} \right)=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {H} )-\nabla ^{2}\mathbf {H}$ , vi kan ställa in $\nabla \cdot \mathbf {H} =0$ eftersom den är solenoid, vilket leder till en vektor Helmholtz ekvation ,

\nabla ^{2}\mathbf {H} +\lambda ^{2}\mathbf {H} =0

.

Varje lösning av ovanstående ekvation är inte lösningen av den ursprungliga ekvationen, utan det omvända är sant. Om $\psi$ är en skalär funktion som uppfyller ekvationen ${\displaystyle \nabla ^{2}\psi +\lambda ^{2}\psi =0$ } tre linjärt oberoende lösningar av vektorn Helmholtz-ekvationen ges av

\mathbf {L} =\nabla \psi ,\quad \mathbf {T} =\nabla \times \psi \mathbf {\hat {n}} ,\quad \mathbf {S} ={\frac {1}{\lambda }}\nabla \times \mathbf {T}

där $\mathbf {\hat {n}}$ är en fast enhetsvektor. Eftersom $\nabla \times \mathbf {S} =\lambda \mathbf {T}$ kan det konstateras att ${\ displaystyle \nabla \times (\mathbf {S} +\mathbf {T} )=\lambda (\mathbf {S} +\mathbf {T} )}$ . Men detta är samma som den ursprungliga ekvationen, därför ${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {S} +\mathbf {T} } ,$ där $\mathbf {S}$ är poloidfält och $\mathbf {T}$ är toroidfältet. Genom att ersätta $\mathbf {T}$ i $\mathbf {S}$ får vi den mest allmänna lösningen som

\mathbf {H} ={\frac {1}{\lambda }}\nabla \times (\nabla \times \psi \mathbf {\hat {n}} )+\nabla \times \psi \mathbf {\hat {n}} .

Cylindriska polära koordinater

Att ta enhetsvektorn i $z$ -riktningen, dvs ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} =\mathbf {e} _{z}} ,$ med en periodicitet $L$ i $z$ -riktningen med försvinnande randvillkor vid $r=a$ , lösningen ges av

\psi =J_{m}(\mu _{j}r )e^{im\theta +ikz},\quad \lambda =\pm (\mu _{j}^{2}+k^{2})^{1/2}

där $J_{m}$ är Bessel-funktionen, $k=\pm 2\pi n/L,\ n= 0,1,2,\ldots$ , heltalen $m=0,\pm 1,\pm 2,\ldots$ och $\mu _{ j}$ bestäms av gränsvillkoret ${\displaystyle ak\mu _{j}J_{m}'( \mu _{j}a)+m\lambda J_{m}(\mu _{j}a)=0.} Egenvärdena$ för $m=n=0$ måste behandlas separat . Eftersom här $\mathbf {\hat {n}} =\mathbf {e} _{z}$ kan vi tänka oss att $z$ -riktningen är ringformad och $\theta$ riktning ska vara poloidal, i överensstämmelse med konventionen.

Se även