Cayleys nodal kubiska yta

Verkliga poäng på Cayley-ytan

3D-modell av Cayleys yta

Inom algebraisk geometri är Cayley -ytan , uppkallad efter Arthur Cayley , en kubisk nodalyta i 3-dimensionellt projektivt utrymme med fyra koniska punkter. Det kan ges av ekvationen

wxy+xyz+yzw+zwx=0\

när de fyra singulära punkterna är de med tre försvinnande koordinater. Att ändra variabler ger flera andra enkla ekvationer som definierar Cayley-ytan.

Som en del Pezzo-yta av grad 3 ges Cayley-ytan av det linjära systemet av kubik i det projektiva planet som passerar genom de 6 hörnen av den kompletta fyrhörningen . Detta drar ihop de fyra sidorna av den kompletta fyrhörningen till de fyra noderna på Cayleyytan, samtidigt som de blåser upp dess sex hörn till linjerna genom två av dem. Ytan är ett snitt genom Segre-kubiken .

Ytan innehåller nio linjer, 11 tritangenter och inga dubbelsexor.

Ett antal affina former av ytan har presenterats. Hunt använder $(1-3x-3y-3z)(xy+xz+yz)+ 6xyz=0$ genom att transformera koordinater $(u_{0},u_{1},u_{2},u_{3})$ till $(u_{0},u_{1},u_{2},v=3(u_{0}+u_ {1}+u_{2}+2u_{3}))$ och dehomogenisering genom att sätta $x=u_{0}/v ,y=u_{1}/v,z=u_{2}/v$ . En mer symmetrisk form är

x^{2}+y^{2}+z^{2}+x^{2}zy^{ 2}z-1=0.

Cayley, Arthur (1869), "A Memoir on Cubic Surfaces", Philosophical Transactions of the Royal Society of London , The Royal Society, 159 : 231–326, doi : 10.1098/rstl.1869.0010 , ISSN 0080-4971 , JSTOR 4080-4971
Heath-Brown, DR (2003), "Tätheten av rationella punkter på Cayleys kubiska yta", Proceedings of the Session in Analytic Number Theory and Diophantine Equations, Bonner Math. Schriften, vol. 360, Bonn: Univ. Bonn, sid. 33, MR 2075628
Hunt, Bruce (2000), "Nice modular varieties" , Experimental Mathematics , 9 (4): 613–622, doi : 10.1080/10586458.2000.10504664 , ISSN 1058-6458 6458 , 2MR 680 ,

externa länkar

Cayley's Nodal Cubic Surface , John Baez , Visual Insight, 15 augusti 2016
Cayley Surface på MathCurve.