Castelnuovo–Mumford regelbundenhet

I algebraisk geometri är Castelnuovo –Mumford-regelbundenheten för en koherent bunt F över projektivt utrymme P ⁿ det minsta heltal r så att det är r-regelbundet , vilket betyder att

$H^{i}(\mathbf {P} ^{n},F(ri))=0\,$

⁰ närhelst i > 0. Regelbundenhet för ett delschema definieras som regelbundenhet hos dess bunt av ideal. Regelbundenhet styr när kärvens Hilbertfunktion blir ett polynom; mer exakt dim H ( P ⁿ , F ( m )) är ett polynom i m när m är åtminstone regelbundenhet. Begreppet r -regelbundenhet introducerades av Mumford ( 1966 , föreläsning 14), som tillskrev följande resultat till Guido Castelnuovo ( 1893 ):

• En r -regular kärve är s -regular för alla s ≥ r .
• Om en koherent sträng är r -regelbunden genereras F ( r ) av dess globala sektioner .

Graderade moduler

₀ En relaterad idé finns i kommutativ algebra . Antag att R = k [ x ,..., x _n ] är en polynomring över ett fält k och M är en ändligt genererad graderad R -modul . Antag att M har en minimal graderad fri upplösning

$\cdots \rightarrow F_{j}\rightarrow \cdots \rightarrow F_{0}\rightarrow M\rightarrow 0$

och låt b _j vara maximum av graderna för generatorerna för F _j . Om r är ett heltal så att b _j - j ≤ r för alla j , så sägs M vara r -reguljärt. Regelbundenheten hos M är den minsta sådan r .

Dessa två begrepp om regularitet sammanfaller när F är en koherent bunt så att Ass( F ) inte innehåller några slutna punkter. Då genereras den graderade modulen ⁰ M = $\oplus$ _{d∈ Z} H ( P ⁿ , F ( d )) ändligt och har samma regelbundenhet som F .

Se även

• Hilbert-schema
• Offertschema

•   Castelnuovo, G. (1893), "Sui multipli di una serie lineare di gruppi di punti appartenente ad una curva algebrica" ​​, Red . Circ. Matta. Palermo , 7 : 89–110, doi : 10.1007/BF03012436 , JFM 25.1035.02
•    Eisenbud, David (1995), Kommutativ algebra med sikte på algebraisk geometri , Graduate Texts in Mathematics, vol. 150, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94269-8 , MR 1322960
•    Eisenbud, David (2005), The geometry of syzygies , Graduate Texts in Mathematics, vol. 229, Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/b137572 , ISBN 978-0-387-22215-8 , MR 2103875
•    Mumford, David (1966), Lectures on Curves on an Algebraic Surface , Annals of Mathematics Studies, vol. 59, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-07993-6 , MR 0209285