Casson handtag

I 4-dimensionell topologi, en gren av matematiken, är ett Casson-handtag ett 4-dimensionellt topologiskt 2-handtag konstruerat med en oändlig procedur. De är uppkallade efter Andrew Casson , som introducerade dem omkring 1973. De kallades ursprungligen "flexibla handtag" av Casson själv, och Michael Freedman ( 1982 ) introducerade namnet "Casson handtag" som de är kända under idag. I det arbetet visade han att Casson-handtag är topologiska 2-handtag, och använde detta för att klassificera enkelt sammankopplade kompakta topologiska 4-grenrör .

Motivering

I beviset för h-kobordismsatsen används följande konstruktion. Med tanke på en cirkel i gränsen för ett grenrör, skulle vi ofta vilja hitta en skiva inbäddad i grenröret vars gräns är den givna cirkeln. Om grenröret helt enkelt är anslutet så kan vi hitta en karta från en skiva till grenröret med gränsen för den givna cirkeln, och om grenröret har dimensionen minst 5 så blir det en inbäddning genom att placera denna skiva i "allmän position " . Siffran 5 visas av följande anledning: undergrenrör med dimensionen m och n i den allmänna positionen skär inte varandra förutsatt att dimensionen på grenröret som innehåller dem har en dimension större än $m+n$ . Speciellt kommer en skiva (av dimension 2) i allmän position inte att ha några självkorsningar inuti ett grenrör med dimension större än 2+2.

Om grenröret är 4-dimensionellt fungerar inte detta: problemet är att en skiva i allmänt läge kan ha dubbla punkter där två punkter på skivan har samma bild. Detta är huvudorsaken till att det vanliga beviset för h-kobordismsatsen bara fungerar för kobordismer vars gräns har dimensionen minst 5. Vi kan försöka bli av med dessa dubbelpunkter enligt följande. Rita en linje på skivan som sammanfogar två punkter med samma bild. Om bilden av den här linjen är gränsen för en inbäddad skiva (kallad Whitney-skiva ) är det lätt att ta bort dubbelpunkten. Men detta argument verkar gå runt i cirklar: för att eliminera en dubbelpunkt på den första skivan måste vi konstruera en andra inbäddad skiva, vars konstruktion innebär exakt samma problem med att eliminera dubbla punkter.

Cassons idé var att upprepa denna konstruktion ett oändligt antal gånger, i hopp om att problemen med dubbla poäng på något sätt försvinner i den oändliga gränsen.

Konstruktion

Ett Casson-handtag har ett 2-dimensionellt skelett, som kan konstrueras enligt följande.

1. Börja med en 2-skiva $D^{2}$ .
2. Identifiera ett ändligt antal par av punkter på skivan.
3. För varje par identifierade punkter, välj en bana på skivan som förenar dessa punkter, och konstruera en ny skiva med gränsen för denna bana. (Så vi lägger till en skiva för varje par identifierade punkter.)
4. Upprepa steg 2–3 på varje ny skiva.

Vi kan representera dessa skelett genom rotade träd så att varje punkt är förenad med endast ett ändligt antal andra punkter: trädet har en punkt för varje skiva och en linje som förenar punkter om motsvarande skivor skär varandra i skelettet.

Ett Casson-handtag konstrueras genom att "förtjocka" den 2-dimensionella konstruktionen ovan för att ge ett 4-dimensionellt objekt: vi ersätter varje skiva $D^{2}$ med en kopia av $D^{2}\times \mathbb {R} ^{2}$ . Informellt kan vi tänka på detta som att ta ett litet område av skelettet (tänks vara inbäddat i något 4-grenrör). Det finns några mindre extra finesser i att göra detta: vi måste hålla reda på några inramningar, och skärningspunkter har nu en orientering.

Cassonhandtag motsvarar rotade träd enligt ovan, förutom att nu varje vertex har ett tecken fäst vid sig för att indikera orienteringen av dubbelpunkten. Vi kan lika gärna anta att trädet inte har några ändliga grenar, eftersom ändliga grenar kan "rivas upp" så gör ingen skillnad.

Det enklaste exotiska Casson-handtaget motsvarar trädet som bara är en halv oändlig rad med punkter (med alla tecken likadana). Det är diffeomorft till $D^{2}\times D^{2}$ med en kon över Whitehead-kontinuumet borttagen. Det finns en liknande beskrivning av mer komplicerade Casson-handtag, med Whitehead-kontinuumet ersatt av ett liknande men mer komplicerat set.

Strukturera

Freedmans huvudsats om Casson-handtag säger att de alla är homeomorfa till $D^{2}\times \mathbb {R} ^{2}$ ; eller med andra ord är de topologiska 2-handtag. I allmänhet är de inte diffeomorfa till $D^{2}\times \mathbb {R} ^{2}$ enligt Donaldsons sats , och det finns ett oräkneligt oändligt antal olika diffeomorfismtyper av Casson handtag. Emellertid är det inre av ett Casson-handtag diffeomorft till $\mathbb {R} ^{4}$ ; Casson-handtag skiljer sig från standard 2-handtag endast på det sätt som gränsen är fäst på insidan.

Freedmans struktursats kan användas för att bevisa h-kobordismsatsen för 5-dimensionella topologiska kobordismer, vilket i sin tur antyder den 4-dimensionella topologiska Poincaré-förmodan .

• Gompf, Robert (2001) [1994], "Casson handle" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
•    Casson, Andrew (1986), "Three lectures on new-infinite constructions in 4-dimensional manifolds", À la recherche de la topologie perdue , Progress in Mathematics, vol. 62, Boston, MA: Birkhäuser Boston, s. 201–244, ISBN 0-8176-3329-4 , MR 0900253
•   Freedman, Michael Hartley (1982), "The topology of four-dimensional manifolds" , Journal of Differential Geometry , 17 (3): 357–453, doi : 10.4310/jdg/1214437136 , MR 0679066
•    Kirby, Robion C. (1989), The topology of 4-manifolds , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1374, Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0089031 , ISBN 978-3-540-51148-9 , MR 1001966
•   Scorpan, Alexandru (2005). Den vilda världen av 4-grenrör . American Mathematical Society . ISBN 0-8218-3749-4 .