Cartan–Kählers sats

Inom matematiken är Cartan –Kählers sats ett stort resultat på integrerbarhetsvillkoren för differentialsystem , i fallet med analytiska funktioner , för differentialideal $I$ . Den är uppkallad efter Élie Cartan och Erich Kähler .

Menande

Det är inte sant att bara att ha $dI$ i $I$ är tillräckligt för integrerbarhet. Det finns ett problem som orsakas av singulära lösningar . Satsen beräknar vissa konstanter som måste uppfylla en olikhet för att det ska finnas en lösning.

Påstående

Låt $(M,I)$ vara en riktig analytisk EDS . Antag att $P\subseteq M$ är ett anslutet, $k$ -dimensionellt, reellt analytiskt, regelbundet integralgrenrör av $I$ med $r( P)\geq 0$ (dvs tangentutrymmena $T_{p}P$ är "förlängbara" till integralelement med högre dimension).

Antag dessutom att det finns ett verkligt analytiskt undergrenrör $R\subseteq M$ av kodimension $r(P)$ som innehåller $P$ och så att $T_{p}R\cap H(T_{p}P)$ har dimensionen $k+1$ för alla $p\in P$ .

Sedan finns det en (lokalt) unik ansluten, $(k+1)$ -dimensionell, reell analytisk integralgrenrör $X\subseteq M$ av $I$ som uppfyller $P\subseteq X\subseteq R$ .

Bevis och antaganden

Cauchy -Kovalevskaya-satsen används i beviset, så analyticiteten är nödvändig.

• Jean Dieudonné , Eléments d'analyse , vol. 4, (1977) kap. XVIII.13
• R. Bryant, SS Chern, R. Gardner, H. Goldschmidt, P. Griffiths, Exterior Differential Systems , Springer Verlag, New York, 1991.

externa länkar

• Alekseevskii, DV (2001) [1994], "Pfaffian problem" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• R. Bryant, "Nio föreläsningar om yttre differentialsystem", 1999
• E. Cartan, "Om integrationen av system med totala differentialekvationer," övers. av DH Delphenich
• E. Kähler, "Introduktion till teorin om differentialekvationer", övers. av DH Delphenich