Carrolls paradox

Den här artikeln handlar om den fysiska paradoxen. För Lewis Carroll-dialogen, se Vad sköldpaddan sa till Achilles .

Inom fysiken uppstår Carrolls paradox när man överväger rörelsen hos en fallande stel stång som är speciellt begränsad . På ett sätt förblir rörelsemängden konstant; betraktat på ett annat sätt förändras det. Den är uppkallad efter Michael M. Carroll som publicerade den första gången 1984.

Förklaring

Betrakta två koncentriska cirklar med radien $r_{1}$ och $r_{2}$ som kan ritas på en väggklockas framsida. Antag en enhetlig styv tung stav med längden $l=|r_{2}-r_{1}|$ är på något sätt begränsad mellan dessa två cirklar så att ena änden av staven förblir på den inre cirkeln och den andra förblir på den yttre cirkeln. Rörelse av stången längs dessa cirklar, som fungerar som guider, är friktionsfri. Spöet hålls i klockan tre så att det är horisontellt och släpps sedan.

Tänk nu på vinkelmomentet kring mitten av stången:

1. Efter släppet faller spöet. Eftersom den är begränsad måste den rotera när den rör sig. När den kommer till en vertikal position klockan sex, har den förlorat potentiell energi och, eftersom rörelsen är friktionsfri, kommer den att ha fått rörelseenergi . Den har därför vinkelmomentum.
2. Reaktionskraften på stången från båda cirkulära styrningarna är friktionsfri, så den måste riktas längs stången; det kan inte finnas någon komponent av reaktionskraften vinkelrätt mot stången. Om man tar ögonblick omkring mitten av staven, kan det inte finnas något ögonblick som verkar på staven, så dess vinkelmoment förblir konstant. Eftersom staven börjar med noll rörelsemängd måste den fortsätta att ha noll rörelsemängd för all tid.

En uppenbar lösning på denna paradox är att den fysiska situationen inte kan inträffa. För att hålla stången i ett radiellt läge måste cirklarna utöva en oändlig kraft. I verkligheten skulle det inte vara möjligt att konstruera styrningar som inte utövar en betydande reaktionskraft vinkelrätt mot stången. Victor Namias ifrågasatte emellertid att oändliga krafter uppstår, och hävdade att en ändligt tjock stång upplever vridmoment kring dess masscentrum även i gränsen när den närmar sig noll bredd.

• Carroll, Michael M. (november 1984). "Singulara begränsningar i stel kroppsdynamik". American Journal of Physics . 52 (11): 1010–1012. Bibcode : 1984AmJPh..52.1010C . doi : 10.1119/1.13777 .
• Namias, Victor (maj 1986). "På en uppenbar paradox i rörelsen av en smidigt begränsad spö". American Journal of Physics . 54 (5): 440–445. Bibcode : 1986AmJPh..54..440N . doi : 10.1119/1.14610 .
• Felszeghy, Stephen F. (1986). "Om så kallade singular constraints in rigid-body dynamics". American Journal of Physics . 54 (7): 585–586. Bibcode : 1986AmJPh..54..585F . doi : 10.1119/1.14533 .