Carlson symmetrisk form

I matematik är de Carlsons symmetriska formerna av elliptiska integraler en liten kanonisk uppsättning elliptiska integraler som alla andra kan reduceras till. De är ett modernt alternativ till Legendre-formerna . Legendre-formerna kan uttryckas i termer av Carlson-formerna och vice versa.

Carlson elliptiska integraler är:

$$R_{F}(x,y,z)={\tfrac { 1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{\sqrt {(t+x)(t+y)(t+z)}}}$$

$$R_{J}(x,y, z,p)={\tfrac {3}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{(t+p){\sqrt {(t+x)(t+ y)(t+z)}}}}$$

$$R_{C}(x,y)=R_{F }(x,y,y)={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{(t+y){\sqrt {(t+x )}}}}$$

$${\ displaystyle R_{D}(x,y,z)=R_{J}(x,y,z,z)={\tfrac {3}{2}}\int _{0}^{\infty }{\ frac {dt}{(t+z)\,{\sqrt {(t+x)(t+y)(t+z)}}}}}$$

Eftersom $R_{C}$ och $R_{D}$ är specialfall av $R_{F}$ och $R_{J}$ är alla elliptiska Integraler kan slutligen utvärderas i termer av bara $R_{F}$ och $R_{J}$ .

Termen symmetrisk hänvisar till det faktum att i motsats till Legendre-formerna är dessa funktioner oförändrade genom utbyte av vissa delmängder av deras argument. Värdet på $R_{F}(x,y,z)$ är detsamma för alla permutationer av dess argument, och värdet på $R_{J}(x,y,z,p)$ är samma för alla permutationer av dess tre första argument.

Carlsons elliptiska integraler är uppkallade efter Bille C. Carlson (1924-2013).

Relation till Legendre-formerna

Ofullständiga elliptiska integraler

Ofullständiga elliptiska integraler kan enkelt beräknas med hjälp av Carlsons symmetriska former:

$F(\phi ,k)=\sin \phi R_{F}\vänster (\cos ^{2}\phi ,1-k^{2}\sin ^{2}\phi ,1\right)$

$E(\phi ,k)=\ sin \phi R_{F}\left(\cos ^{2}\phi ,1-k^{2}\sin ^{2}\phi ,1\right)-{\tfrac {1}{3}} k^{2}\sin ^{3}\phi R_{D}\left(\cos ^{2}\phi ,1-k^{2}\sin ^{2}\phi ,1\right)$

$\Pi (\phi ,n,k)=\sin \phi R_{F}\left(\cos ^{2}\phi , 1-k^{2}\sin ^{2}\phi ,1\right)+{\tfrac {1}{3}}n\sin ^{3}\phi R_{J}\left(\cos ^ {2}\phi ,1-k^{2}\sin ^{2}\phi ,1,1-n\sin ^{2}\phi \right)$

(Obs: ovanstående är endast giltiga för $-{\frac {\pi }{2}}\leq \phi \leq {\frac {\pi }{2}}$ och $0\leq k^{2}\sin ^{2}\phi \leq 1$ )

Kompletta elliptiska integraler

Kompletta elliptiska integraler kan beräknas genom att ersätta φ = 1 ⁄ 2 π:

$K(k)=R_{F}\left(0,1-k^{2},1\right)$

$E(k)=R_{F}\left(0,1-k^{ 2},1\höger)-{\tfrac {1}{3}}k^{2}R_{D}\left(0,1-k^{2},1\right)$

$\Pi (n,k)=R_{F}\left( 0,1-k^{2},1\höger)+{\tfrac {1}{3}}nR_{J}\left(0,1-k^{2},1,1-n\höger)$

Speciella fall

När två, eller alla tre av argumenten för $R_{F}$ är desamma, renderar en ersättning av + $displaystyle {\sqrt {t+x}}=u}$ integrandrationalen. Integralen kan då uttryckas i termer av elementära transcendentala funktioner.

$R_{C}(x,y)=R_{F}(x,y,y) ={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{{\sqrt {t+x}}(t+y)}}=\int _{ \sqrt {x}}^{\infty }{\frac {du}{u^{2}-x+y}}={\begin{cases}{\frac {\arccos {\sqrt {{x}/ {y}}}}{\sqrt {yx}}},&x<y\\{\frac {1}{\sqrt {y}}},&x=y\\{\frac {\operatörsnamn {arcosh} { \sqrt {{x}/{y}}}}{\sqrt {xy}}},&x>y\\\end{cases}}$

På liknande sätt, när minst två av de tre första argumenten för $R_{J}$ är desamma,

$\ displaystyle R_{J}(x,y,y,p)=3\int _{\sqrt {x}}^{\infty }{\frac {du}{(u^{2}-x+y)( u^{2}-x+p)}}={\begin{cases}{\frac {3}{py}}(R_{C}(x,y)-R_{C}(x,p)) ,&y\neq p\\{\frac {3}{2(yx)}}\left(R_{C}(x,y)-{\frac {1}{y}}{\sqrt {x}} \right),&y=p\neq x\\{\frac {1}{y^{{3}/{2}}}},&y=p=x\\\end{cases}}}$

Egenskaper

Homogenitet

Genom att i integraldefinitionerna ersätta $t=\kappa u$ för varje konstant $\kappa$ , finner man att

$R_{F}\left(\kappa x,\kappa y,\kappa z\right )=\kappa ^{-1/2}R_{F}(x,y,z)$

$R_{J}\left(\kappa x,\kappa y,\kappa z,\kappa p\right)=\kappa ^{-3/2}R_{J}(x, y,z,p)$

Dupliceringssats

$R_ {F}(x,y,z)=2R_{F}(x+\lambda ,y+\lambda ,z+\lambda )=R_{F}\left({\frac {x+\lambda }{4}},{ \frac {y+\lambda }{4}},{\frac {z+\lambda }{4}}\right),$

där $\lambda ={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}+{\sqrt {y}}{\sqrt {z}}+{\sqrt {z}}{\sqrt {x}}$ .

${\begin{aligned}R_{J}(x,y,z,p)&=2R_{J}(x+\lambda ,y+\lambda ,z+ \lambda ,p+\lambda )+6R_{C}(d^{2},d^{2}+(px)(py)(pz))\\&={\frac {1}{4}}R_ {J}\left({\frac {x+\lambda }{4}},{\frac {y+\lambda }{4}},{\frac {z+\lambda }{4}},{\frac {p+ \lambda }{4}}\right)+6R_{C}(d^{2},d^{2}+(px)(py)(pz))\end{aligned}}$

där ${\displaystyle d=({\sqrt {p}}+{\sqrt {x}})({\sqrt {p}}+{ \sqrt {y}})({\sqrt {p}}+{\sqrt {z}})} och$ λ $\displaystyle \lambda ={\sqrt {x}}{ \sqrt {y}}+{\sqrt {y}}{\sqrt {z}}+{\sqrt {z}}{\sqrt {x}}}$

Serieexpansion

När man skaffar en Taylor-serieexpansion för $R_{F}$ eller $R_{J}$ det sig vara bekvämt att expandera om medelvärdet för de flera argumenten. Så för $R_{F}$ du medelvärdet för argumenten vara $A=(x+y+z)/3$ och använder homogenitet, definiera $\Delta x$ , $\Delta y$ och $\Delta z$ med

${\begin{aligned}R_{F}(x,y,z)&=R_{F}(A(1-\Delta x),A(1-\Delta y),A(1-\Delta z))\\&={\frac {1}{\sqrt {A}}}R_{F}(1-\Delta x,1-\Delta y,1-\ Delta z)\end{aligned}}$

det vill säga $\Delta x=1-x/A$ etc. Skillnaderna $\Delta x$ , $\Delta y$ och ${ \displaystyle \Delta z}$ definieras med detta tecken (så att de subtraheras ), för att stämma överens med Carlsons papper. Eftersom $R_{F}(x,y,z)$ är symmetrisk under permutation av $x$ , $y$ och $z$ , är den också symmetrisk i storheterna $\Delta x$ , $\Delta y$ och $\Delta z$ . Det följer att både integranden för ${F}}$ och dess integral kan uttryckas som funktioner av de elementära symmetriska polynomen i ${\displaystyle \Delta x} ,$ Δ $\displaystyle \Delta y}$ och $\Delta z$ som är

$E_{1}=\Delta x+\Delta y+\Delta z=0$

${ \displaystyle E_{2}=\Delta x\Delta y+\Delta y\Delta z+\Delta z\Delta x}$

$E_{3}=\Delta x\Delta y\ Delta z$

Att uttrycka integranden i termer av dessa polynom, utföra en flerdimensionell Taylor-expansion och integrera term-för-term...

${\begin{aligned}R_{F}(x,y,z)&={\frac {1}{2{\sqrt {A} }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {(t+1)^{3}-(t+1)^{2}E_{1}+(t +1)E_{2}-E_{3}}}}dt\\&={\frac {1}{2{\sqrt {A}}}}\int _{0}^{\infty }\left ({\frac {1}{(t+1)^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {E_{2}}{2(t+1)^{\frac {7} {2}}}}+{\frac {E_{3}}{2(t+1)^{\frac {9}{2}}}}+{\frac {3E_{2}^{2}} {8(t+1)^{\frac {11}{2}}}}-{\frac {3E_{2}E_{3}}{4(t+1)^{\frac {13}{2 }}}}+O(E_{1})+O(\Delta ^{6})\right)dt\\&={\frac {1}{\sqrt {A}}}\left(1-{ \frac {1}{10}}E_{2}+{\frac {1}{14}}E_{3}+{\frac {1}{24}}E_{2}^{2}-{\ frac {3}{44}}E_{2}E_{3}+O(E_{1})+O(\Delta ^{6})\right)\end{aligned}}$

Fördelen med att expandera om medelvärdet av argumenten är nu uppenbar; den reducerar $E_{1}$ identiskt till noll, och eliminerar därför alla termer som involverar $E_{1}$ - som annars skulle vara de mest talrika.

En stigande serie för $R_{J}$ kan hittas på liknande sätt. Det finns en liten svårighet eftersom $R_{J}$ inte är helt symmetrisk; dess beroende av dess fjärde argument, $p$ , skiljer sig från dess beroende av $x$ , $y$ och $z$ . Detta övervinns genom att behandla $R_{J}$ som en helt symmetrisk funktion av fem argument, varav två råkar ha samma värde $p$ . Medelvärdet av argumenten anses därför vara

$A={\frac {x+y+z+2p}{5}}$

och skillnaderna $\Delta x$ , $\Delta y$$\Delta z$ och $\Delta p$ definierade av

${\begin{aligned}R_{J}(x,y,z,p)&=R_ {J}(A(1-\Delta x),A(1-\Delta y),A(1-\Delta z),A(1-\Delta p))\\&={\frac {1} {A^{\frac {3}{2}}}}R_{J}(1-\Delta x,1-\Delta y,1-\Delta z,1-\Delta p)\end{aligned}}$

De elementära symmetriska polynomen i $\Delta x$ , $\Delta y$ , $\Delta z$ , $\Delta p$ och (igen) $\Delta p$ är fullständiga

$E_{1}=\Delta x+\Delta y+\Delta z+2\Delta p=0$

$E_{2}=\Delta x\Delta y+\Delta y\Delta z +2\Delta z\Delta p+\Delta p^{2}+2\Delta p\Delta x+\Delta x\Delta z+2\Delta y\Delta p$

$E_{3}=\Delta z \Delta p^{2}+\Delta x\Delta p^{2}+2\Delta x\Delta y\Delta p+\Delta x\Delta y\Delta z+2\Delta y\Delta z\Delta p+\ Delta y\Delta p^{2}+2\Delta x\Delta z\Delta p$

$E_{4}=\Delta y\Delta z\Delta p^{2}+\Delta x\Delta z\Delta p^{2}+\Delta x\Delta y\ Delta p^{2}+2\Delta x\Delta y\Delta z\Delta p$

$E_{5}=\Delta x\Delta y\Delta z \Delta p^{2}$

Det är dock möjligt att förenkla formlerna för $E_{2}$ , $E_{3}$ och $E_{4}$ med det faktum att ${ \displaystyle E_{1}=0}$ . Att uttrycka integranden i termer av dessa polynom, utföra en flerdimensionell Taylor-expansion och integrera term-för-term som tidigare...

${\begin{aligned}R_{J}(x,y,z,p)&={\frac {3}{2A^{\frac {3}{2} }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {(t+1)^{5}-(t+1)^{4}E_{1}+(t +1)^{3}E_{2}-(t+1)^{2}E_{3}+(t+1)E_{4}-E_{5}}}}dt\\&={\ frac {3}{2A^{\frac {3}{2}}}}\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{(t+1)^{\frac { 5}{2}}}}-{\frac {E_{2}}{2(t+1)^{\frac {9}{2}}}}+{\frac {E_{3}}{2 (t+1)^{\frac {11}{2}}}}+{\frac {3E_{2}^{2}-4E_{4}}{8(t+1)^{\frac {13 }{2}}}}+{\frac {2E_{5}-3E_{2}E_{3}}{4(t+1)^{\frac {15}{2}}}}+O(E_ {1})+O(\Delta ^{6})\right)dt\\&={\frac {1}{A^{\frac {3}{2}}}}\left(1-{\ frac {3}{14}}E_{2}+{\frac {1}{6}}E_{3}+{\frac {9}{88}}E_{2}^{2}-{\frac {3}{22}}E_{4}-{\frac {9}{52}}E_{2}E_{3}+{\frac {3}{26}}E_{5}+O(E_{ 1})+O(\Delta ^{6})\right)\end{aligned}}$

Precis som med $R_{J}$ elimineras mer än hälften av termerna (de som involverar ${\displaystyle E_{1}} )$ genom att expandera om medelvärdet av argumenten.

Negativa argument

I allmänhet kanske argumenten x, y, z för Carlsons integraler inte är reella och negativa, eftersom detta skulle placera en grenpunkt på integrationens väg, vilket gör integralen tvetydig. Men om det andra argumentet för $R_{C}$ , eller det fjärde argumentet, p, för $R_{J}$ är negativt, så resulterar detta i en enkel pol på vägen till integration. I dessa fall Cauchy-huvudvärdet (finita delen) av integralerna vara av intresse; dessa är

$\mathrm {pv} \;R_{C}(x,-y)={\sqrt {\frac {x}{x+y}}}\,R_{C}(x+y,y),$

och

${\begin{aligned}\mathrm {pv} \;R_{J}(x,y,z,-p)&={\frac {(qy)R_{ J}(x,y,z,q)-3R_{F}(x,y,z)+3{\sqrt {y}}R_{C}(xz,-pq)}{y+p}}\ \&={\frac {(qy)R_{J}(x,y,z,q)-3R_{F}(x,y,z)+3{\sqrt {\frac {xyz}{xz+pq }}}R_{C}(xz+pq,pq)}{y+p}}\end{aligned}}$

var

$q=y+{\frac {(zy)(yx)}{y+p}}.$

som måste vara större än noll för att $R_{J}(x,y,z,q)$ ska kunna utvärderas. Detta kan ordnas genom att permutera x, y och z så att värdet på y är mellan det för x och z.

Numerisk utvärdering

Dupliceringssatsen kan användas för en snabb och robust utvärdering av Carlsons symmetriska form av elliptiska integraler och därför även för utvärdering av Legendre-form av elliptiska integraler. Låt oss beräkna $R_{F}(x,y,z)$ : först definiera $x_{0}=x$ , ${\ displaystyle y_{0}=y}$ och $z_{0}=z$ . Upprepa sedan serien

$\lambda _{n}={\sqrt {x_{n}}}{\sqrt {y_{n}}}+{ \sqrt {y_{n}}}{\sqrt {z_{n}}}+{\sqrt {z_{n}}}{\sqrt {x_{n}}},$

$x_{n+1}={\frac {x_{n}+\lambda _{ n}}{4}},y_{n+1}={\frac {y_{n}+\lambda _{n}}{4}},z_{n+1}={\frac {z_{n }+\lambda _{n}}{4}}$

tills önskad precision uppnås: om $x$ , $y$ och $z$ är icke-negativa, kommer hela serierna snabbt att konvergera till ett givet värde, säg ${\ displaystil \mu }$ . Därför,

$R_{F}\left(x,y,z\right)=R_{F}\left(\mu ,\mu ,\mu \right)=\mu ^{-1/2}.$

Att utvärdera $R_{C}(x,y)$ är ungefär detsamma på grund av relationen

$R_{C}\left(x,y\right)=R_{F}\left(x,y,y\right).$

Referenser och externa länkar

• BC Carlson, John L. Gustafson 'Asymptotiska approximationer för symmetriska elliptiska integraler' 1993 arXiv
• BC Carlson 'Numerical Computation of Real or Complex Elliptic Integrals' 1994 arXiv
• BC Carlson "Elliptiska integraler: symmetriska integraler" i kap. 19 i Digital Library of Mathematical Functions . Releasedatum 2010-05-07. National Institute of Standards and Technology.
• 'Profil: Bille C. Carlson' i Digital Library of Mathematical Functions . National Institute of Standards and Technology.
•   Tryck, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Avsnitt 6.12. Elliptic Integrals and Jacobian Elliptic Functions" , Numeriska recept: The Art of Scientific Computing (3:e upplagan), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
• Fortran kod från SLATEC för att utvärdera RF , RJ , RC , RD ,