Carl Johan Malmsten

Carl Malmsten
Född	Carl Johan Malmsten ( 1814-04-09 ) 9 april 1814 Skara , Sverige
dog	11 februari 1886 (1886-02-11) (71 år gammal) Uppsala , Sverige
Yrke(n)	Matematiker, politiker

Carl Johan Malmsten (9 april 1814 i Uddetorp, Skara län, Sverige – 11 februari 1886 i Uppsala , Sverige) var en svensk matematiker och politiker. Han är känd för tidig forskning i teorin om funktioner för en komplex variabel , för utvärderingen av flera viktiga logaritmiska integraler och serier, för sina studier i teorin om Zeta-funktionsrelaterade serier och integraler, samt för att hjälpa Mittag-Leffler starta tidskriften Acta Mathematica . Malmsten blev docent 1840 och sedan professor i matematik vid Uppsala universitet 1842. Han valdes in som ledamot av Kungliga Vetenskapsakademien 1844. Han var även minister utan portfölj 1859–1866 och landshövding i Skaraborgs län 1866–1879.

Huvudinsatser

Vanligtvis är Malmsten känd för sina tidigare arbeten inom komplex analys. Men han bidrog också mycket i andra grenar av matematiken, men hans resultat glömdes oförtjänt bort och många av dem tillskrevs felaktigt andra personer. Det var alltså relativt nyligen som det upptäcktes av Iaroslav Blagouchine att Malmsten var den första som utvärderade flera viktiga logaritmiska integraler och serier, som är nära besläktade med gamma- och zetafunktionerna , och bland vilka vi kan hitta de så kallade Vardi's integral och Kummers serie för logaritmen för gammafunktionen. I synnerhet 1842 utvärderade han följande lnln-logaritmiska integraler

$}}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}\!{\frac {\,\ln \ln {\frac {1}{x}}\,}{1+x^{2}}}\, dx\,=\,\int _{1}^{\infty }\!{\frac {\,\ln \ln {x}\,}{1+x^{2}}}\,dx\, =\,{\frac {\pi }{\,2\,}}\ln \left\{{\frac {\Gamma {(3/4)}}{\Gamma {(1/4)}}} {\sqrt {2\pi \,}}\right$

$\int _{0}^{1}{\frac {\ln \ln {\frac {1}{x}}}{(1+ x)^{2}}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {\ln \ln {x}}{(1+x)^{2}} }\,dx={\frac {1}{2}}{\bigl (}\ln \pi -\ln 2-\gamma {\bigr )},$

$\int \limits _{0} ^{1}\!{\frac {\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1-x+x^{2}}}\,dx=\int _{1}^{\ infty }\!{\frac {\ln \ln {x}}{1-x+x^{2}}}\,dx={\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}\ln {\biggl \{}{\frac {\sqrt[{6}]{32\pi ^{5}}}{\Gamma {(1/6)}}}{\biggr \}}$

$\int \limits _{0}^{1}\!{\frac {\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1+x+x^{2}}}\ ,dx=\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {\ln \ln {x}}{1+x+x^{2}}}\,dx={\frac { \pi }{\sqrt {3}}}\ln {\biggl \{}{\frac {\Gamma {(2/3)}}{\Gamma {(1/3)}}}{\sqrt[{ 3}]{2\pi }}{\biggr \}}$

$_ displaystyle \int \limits _{0}^{1}\!{\frac {\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1+2x\cos \varphi +x^{2}}} \,dx\,=\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {\ln \ln {x}}{1+2x\cos \varphi +x^{2}}}\ ,dx={\frac {\pi }{2\sin \varphi }}\ln \left\{{\frac {(2\pi )^{\frac {\scriptstyle \varphi }{\scriptstyle \pi }} \,\Gamma \!\left(\!\displaystyle {\frac {1}{\,2\,}}+{\frac {\varphi }{\,2\pi \,}}\!\right) }{\Gamma \!\left(\!\displaystyle {\frac {1}{\,2\,}}-{\frac {\varphi }{\,2\pi \,}}\!\right) }}\right\},\qquad -\pi <\varphi <\pi }$

$\int \limits _{0}^{1}\!{\frac { x^{n-2}\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1-x^{2}+x^{4}-\cdots +x^{2n-2}}}\ ,dx\,=\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {x^{n-2}\ln \ln {x}}{1-x^{2}+x^ {4}-\cdots +x^{2n-2}}}\,dx=$

$\quad =\,{\frac {\pi }{\,2n\,}}\sec {\frac {\,\pi \,}{2n}}\!\cdot \ln \pi +{\frac {\pi }{\,n\,}}\cdot \!\!\!\!\!\!\sum _{l=1}^{\;\;{\frac {1} {2}}(n-1)}\!\!\!\!(-1)^{l-1}\cos {\frac {\,(2l-1)\pi \,}{2n}} \cdot \ln \left\{\!{\frac {\Gamma \!\left(1-\displaystyle {\frac {2l-1}{2n}}\right)}{\Gamma \!\left(\ displaystyle {\frac {2l-1}{2n}}\right)}}\right\},\qquad n=3,5,7,\ldots$

$\ int \limits _{0}^{1}\!{\frac {x^{n-2}\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1+x^{2}+x^ {4}+\cdots +x^{2n-2}}}\,dx\,=\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {x^{n-2}\ln \ln {x}}{1+x^{2}+x^{4}+\cdots +x^{2n-2}}}\,dx=$

$\qquad ={\begin{cases}\displaystyle {\frac {\,\pi \,}{2n}}\tan { \frac {\,\pi \,}{2n}}\ln 2\pi +{\frac {\pi}{n}}\summa _{l=1}^{n-1}(-1)^ {l-1}\sin {\frac {\,\pi l\,}{n}}\cdot \ln \left\{\!{\frac {\Gamma \!\left(\!\displaystyle {\ frac {1}{\,2\,}}+\displaystyle {\frac {l}{\,2n}}\!\right)}{\Gamma \!\left(\!\displaystyle {\frac {l }{\,2n}}\!\right)}}\right\},\quad n=2,4,6,\ldots \\[10mm]\displaystyle {\frac {\,\pi \,}{ 2n}}\tan {\frac {\,\pi \,}{2n}}\ln \pi +{\frac {\pi }{n}}\!\!\!\!\!\summa _{ l=1}^{\;\;\;{\frac {1}{2}}(n-1)}\!\!\!\!(-1)^{l-1}\sin {\ frac {\,\pi l\,}{n}}\cdot \ln \left\{\!{\frac {\Gamma \!\left(1-\displaystyle {\frac {\,l}{n} }\!\right)}{\Gamma \!\left(\!\displaystyle {\frac {\,l}{n}}\!\right)}}\right\},\qquad n=3,5 ,7,\ldots \end{cases}}$

Detaljerna och en intressant historisk analys ges i Blagouchines tidning. Många av dessa integraler återupptäcktes senare av olika forskare, inklusive Vardi, Adamchik, Medina och Moll. Dessutom döpte vissa författare till och med den första av dessa integraler efter Vardi, som omvärderade den 1988 (de kallar den Vardis integral ), och det gjorde även många välkända internetresurser som Wolfram MathWorld-webbplatsen eller OEIS Foundation-webbplatsen (som tar hänsyn till ta hänsyn till den otvivelaktiga Malmstens prioritet vid utvärderingen av ett sådant slags logaritmiska integraler, verkar det som om namnet Malmstens integraler skulle vara mer passande för dem). Malmsten härledde ovanstående formler genom att använda sig av olika serierepresentationer. Samtidigt har det visat sig att de också kan utvärderas med metoder för konturintegrering , genom att använda Hurwitz Zeta-funktionen, genom att använda polylogaritmer och genom att använda L-funktioner . Mer komplicerade former av Malmstens integraler förekommer i verk av Adamchik och Blagouchine (mer än 70 integraler). Nedan finns flera exempel på sådana integraler

$\int \limits _{0}^{1}{\frac {\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1+ x^{3}}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {x\ln \ln x}{1+x^{3}}}\,dx={ \frac {\ln 2}{6}}\ln {\frac {3}{2}}-{\frac {\pi }{6{\sqrt {3}}}}\left\{\ln 54- 8\ln 2\pi +12\ln \Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)\right\}$

$\int \limits _{0}^{1}\!{\frac {x\ln \ln {\frac {1}{x}}}{(1-x+x ^{2})^{2}}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {x\ln \ln x}{(1-x+x^{ 2})^{2}}}\,dx=-{\frac {\gamma }{3}}-{\frac {1}{3}}\ln {\frac {6{\sqrt {3}} }{\pi }}+{\frac {\pi {\sqrt {3}}}{27}}\left\{5\ln 2\pi -6\ln \Gamma \left({\frac {1} {6}}\right)\right\}$

$\int \limits _{0}^{1}{\frac {\left(x^{4}-6x ^{2}+1\höger)\ln \ln {\frac {1}{x}}}{\,(1+x^{2})^{3}\,}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {\left(x^{4}-6x^{2}+1\right)\ln \ln {x}}{\,(1+x^ {2})^{3}\,}}\,dx={\frac {2\,\mathrm {G} }{\pi }}$

$\int \limits _{0}^{1}{\frac {x\left(x^{4}-4x^{2}+1\right)\ln \ln {\frac {1} {x}}}{\,(1+x^{2})^{4}\,}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {x\left( x^{4}-4x^{2}+1\höger)\ln \ln {x}}{\,(1+x^{2})^{4}\,}}\,dx={\ frac {7\zeta (3)}{8\pi ^{2}}}$

${\begin{array}{ll}\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{\frac {x\!\left(x^{\frac {m}{n}}-x^{-{\frac {m}{n}}} \right)^{\!2}\ln \ln {\frac {1}{x}}}{\,(1-x^{2})^{2}\,}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {x\!\left(x^{\frac {m}{n}}-x^{-{\frac {m}{n}}}\ höger)^{\!2}\ln \ln {x}}{\,(1-x^{2})^{2}\,}}\,dx=\!\!\!&\displaystyle { \frac {\,m\pi \,}{\,n\,}}\sum _{l=1}^{n-1}\sin {\dfrac {2\pi ml}{n}}\cdot \ln \Gamma \!\left(\!{\frac {l}{n}}\!\right)-\,{\frac {\pi m}{\,2n\,}}\cot {\frac {\pi m}{n}}\cdot \ln \pi n\\[3mm]&\displaystyle -\,{\frac {\,1\,}{2}}\ln \!\left(\! {\frac {\,2\,}{\pi }}\sin {\frac {\,m\pi \,}{n}}\!\right)-\,{\frac {\gamma }{2 }}\end{array}}$

${\begin{array}{l}\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{2}\!\left(x^{\frac {m}{n}}+x^{-{\frac {m}{n}}}\right)\ln \ln {\frac { 1}{x}}}{\,(1+x^{2})^{3}\,}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {x^ {2}\!\left(x^{\frac {m}{n}}+x^{-{\frac {m}{n}}}\höger)\ln \ln {x}}{\, (1+x^{2})^{3}\,}}\,dx=-{\frac {\,\pi \left(n^{2}-m^{2}\right)\,} {8n^{2}}}\!\sum _{l=0}^{2n-1}\!(-1)^{l}\cos {\dfrac {(2l+1)m\pi }{ 2n}}\cdot \ln \Gamma \!\left(\!{\frac {2l+1}{4n}}\right)\\[3mm]\displaystyle \,\,+{\frac {\,m \,}{\,8n^{2}\,}}\!\sum _{l=0}^{2n-1}\!(-1)^{l}\sin {\dfrac {(2l+ 1)m\pi }{2n}}\cdot \Psi \!\left(\!{\frac {2l+1}{4n}}\right)-{\frac {\,1\,}{\, 32\pi n^{2}\,}}\!\sum _{l=0}^{2n-1}(-1)^{l}\cos {\dfrac {(2l+1)m\pi }{2n}}\cdot \Psi _{1}\!\left(\!{\frac {2l+1}{4n}}\right)+\,{\frac {\,\pi (n^{ 2}-m^{2})\,}{16n^{2}}}\sec {\dfrac {m\pi}{2n}}\cdot \ln 2\pi n\end{array}}$

där m och n är positiva heltal så att m < n , G är den katalanska konstanten , ζ står för Riemann zeta-funktionen , Ψ är digammafunktionen och Ψ ₁ är trigammafunktionen ; se respektive ekv. (43), (47) och (48) i Adamchik för de tre första integralerna, och övningar nr. 36-a, 36-b, 11-b och 13-b i Blagouchine för de fyra sista integralerna respektive (den tredje integralen beräknas i båda verken). Det är märkligt att några av Malmstens integraler leder till gamma- och polygammafunktionerna hos ett komplext argument, som inte ofta påträffas i analys. Till exempel, som visas av Iaroslav Blagouchine,

$\int \limits _{0}^{1}\!{\frac {x \ln \ln {\frac {1}{x}}}{1+4x^{2}+x^{4}}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }\! {\frac {x\ln \ln {x}}{1+4x^{2}+x^{4}}}\,dx={\frac {\,\pi \,}{\,2{\ sqrt {3\,}}\,}}\mathrm {Im} \!\left[\ln \Gamma \!\left(\!{\frac {1}{2}}-{\frac {\ln( 2+{\sqrt {3\,}})}{2\pi i}}\right)\!\right]+\,{\frac {\ln(2+{\sqrt {3\,}}) }{\,4{\sqrt {3\,}}\,}}\ln \pi$

eller,

${\s display {0}^{1}\!{\frac {\,x\ln \ln {\frac {1}{x}}\,}{\,x^{4}-2x^{2}\cosh { 2}+1\,}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {\,x\ln \ln {x}\,}{\,x^{ 4}-2x^{2}\cosh {2}+1\,}}\,dx=-{\frac {\,\pi \,}{2\,\sinh {2}\,}}\mathrm {Im} \!\left[\ln \Gamma \!\left(\!{\frac {i}{2\pi }}\right)-\ln \Gamma \!\left(\!{\frac { 1}{2}}-{\frac {i}{2\pi }}\right)\!\right]-{\frac {\,\pi ^{2}}{8\,\sinh {2} \,}}-{\frac {\,\ln 2\pi \,}{2\,\sinh {2}\,}}}$

se övning 7-а respektive 37. Malmstens integraler visar sig förresten också vara nära förbundna med Stieltjes-konstanterna .

År 1842 utvärderade Malmsten också flera viktiga logaritmiska serier, bland vilka vi kan hitta dessa två serier

$\sum _{n }^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\ln(2n+1)}{2n+1}}\,=\,{\frac {\pi }{4}}{\ stor (}\ln \pi -\gamma )-\pi \ln \Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)$

och

$\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {\sin an\cdot \ln {n}}{n}}\,=\, \pi \ln \left\{{\frac {\pi ^{{\frac {1}{2}}-{\frac {a}{2\pi }}}}{\Gamma \left(\displaystyle { \frac {1}{2}}+{\frac {a}{2\pi }}\right)}}\right\}-{\frac {a}{2}}{\big (}\gamma + \ln 2{\big )}-{\frac {\pi }{2}}\ln \cos {\frac {a}{2}}\,,\qquad -\pi <a<\pi .$

Den senare serien återupptäcktes senare i en något annorlunda form av Ernst Kummer som härledde ett liknande uttryck

${\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac { \sin 2\pi nx\cdot \ln {n}}{n}}=\ln \Gamma (x)-{\frac {1}{2}}\ln(2\pi )+{\frac {1 }{2}}\ln(2\sin \pi x)-{\frac {1}{2}}(\gamma +\ln 2\pi )(1-2x)\,,\qquad 0<x< 1,$

1847 (strängt taget erhålls Kummerns resultat från Malmstens genom att sätta a=π(2x-1)). Dessutom är denna serie till och med känd i analysen som Kummers serie för logaritmen för gammafunktionen , även om Malmsten härledde den 5 år före Kummer.

Malsmten bidrog också särskilt till teorin om zetafunktionsrelaterade serier och integraler. År 1842 visade han följande viktiga funktionella relation för L-funktionen

$L(s)\equiv \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}}\qquad \qquad L( 1-s)=L(s)\Gamma (s)2^{s}\pi ^{-s}\sin {\frac {\pi s}{2}},$

samt för M-funktionen

$M(s)\equiv {\frac {2}{\sqrt {3}}}\summa _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1 )^{n+1}}{n^{s}}}\sin {\frac {\pi n}{3}}\qquad \qquad M(1-s)=\displaystyle {\frac {2}{ \sqrt {3}}}\,M(s)\Gamma (s)3^{s}(2\pi )^{-s}\sin {\frac {\pi s}{2}},$

där i båda formlerna 0<s<1. Den första av dessa formler föreslogs av Leonhard Euler redan 1749, men det var Malmsten som bevisade det (Euler föreslog bara denna formel och verifierade den för flera heltals- och halvheltalsvärden av s). Märkligt nog återupptäcktes samma formel för L(s) omedvetet av Oscar Schlömilch 1849 (bevis lämnades först 1858). Fyra år senare härledde Malmsten flera andra liknande reflektionsformler, som visar sig vara särskilda fall av Hurwitz funktionella ekvation .

När vi talar om Malmstens bidrag till teorin om zetafunktioner, kan vi inte undgå att nämna den alldeles nyligen upptäckta upptäckten av hans författare till reflektionsformeln för den första generaliserade Stieltjes-konstanten vid rationellt argument

$\gamma _{1}{\biggl (}{\frac {m}{n}}{\biggr )}-\gamma _{1}{\biggl (}1-{ \frac {m}{n}}{\biggr )}=2\pi \sum _{l=1}^{n-1}\sin {\frac {2\pi ml}{n}}\cdot \ ln \Gamma {\biggl (}{\frac {l}{n}}{\biggr )}-\pi (\gamma +\ln 2\pi n)\cot {\frac {m\pi }{n} }$

där m och n är positiva heltal så att m < n . Denna identitet härleddes, om än i en något annan form, av Malmsten redan 1846 och har också upptäckts självständigt flera gånger av olika författare. I synnerhet i litteraturen som ägnas åt Stieltjes-konstanter , tillskrivs den ofta Almkvist och Meurman som härledde den på 1990-talet.