Carathéodory–Jacobi–Lie-satsen

Carathéodory som – Jacobi – Lie -satsen är en sats i symplektisk geometri generaliserar Darboux sats .

Påstående

Låt M vara ett 2 n -dimensionellt symboliskt grenrör med symbolisk form ω. För p ∈ M och r ≤ n , låt f ₁ , f ₂ , ..., f _r vara jämna funktioner definierade på ett öppet område V av p vars differentialer är linjärt oberoende i varje punkt, eller ekvivalent

$df_{1}(p)\wedge \ldots \wedge df_{r}(p)\neq 0,$

där {f _i , f _j } = 0. (Med andra ord, de är parvis i involution.) Här är {–,–} Poisson-parentesen . Sedan finns det funktioner f _r+1 , ..., f _n , g ₁ , g ₂ , ..., g _n definierade på en öppen grannskap U ⊂ V av p så att (f _i , g _i ) är en symbolik diagram av M , dvs ω uttrycks på U som

$\omega =\sum _{i=1}^{n}df_{i}\wedge dg_{i}.$

Ansökningar

Som en direktansökan har vi följande. Givet ett Hamiltonskt system som $(M,\omega ,H)$ där M är ett symboliskt grenrör med symbolisk form $\omega$ och H är den Hamiltonska funktionen , runt varje punkt där $dH\neq 0$ finns ett symplektiskt diagram så att en av dess koordinater är H .

•   Lee, John M., Introduction to Smooth Manifolds , Springer-Verlag, New York (2003) ISBN 0-387-95495-3 . Lärobok på forskarnivå om släta grenrör.