Bussgångssatsen

Inom matematiken är Bussgang -satsen en sats för stokastisk analys . Satsen säger att korskorrelationen för en Gauss-signal före och efter att den har passerat en olinjär operation är lika med en konstant. Den publicerades först av Julian J. Bussgang 1952 medan han var vid Massachusetts Institute of Technology .

Påstående

Låt ${\displaystyle \left\{X(t)\right\}} vara en stationär$ gaussisk slumpprocess med nollmedelvärde och $\left\{Y(t)\right\}=g(X(t))$ där $g(\cdot )$ är en ickelinjär amplituddistorsion.

Om $R_{X}(\tau )$ är autokorrelationsfunktionen för $\left\{X(t)\right\}$ , då kors- korrelationsfunktionen för $\left\{X(t)\right\}$ och $\left\{Y(t)\right\}$ är

$R_{XY}(\tau )=CR_{X}(\tau ),$

där $C$ är en konstant som endast beror på $g(\cdot )$ .

Det kan ytterligare visas

$C={\frac {1}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{\infty }ug(u)e^{- {\frac {u^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,du.$

Härledning för enbitskvantisering

Det är en egenskap hos den tvådimensionella normalfördelningen att fogdensiteten för $y_{1}$ och $y_{2}$ endast beror på deras kovarians och ges explicit av uttrycket

$p(y_{1},y_ {2})={\frac {1}{2\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}e^{-{\frac {y_{1}^{2}+y_{ 2}^{2}-2\rho y_{1}y_{2}}{2(1-\rho ^{2})}}}$

där $y_{1}$ och $y_{2}$ är standard gaussiska slumpvariabler med korrelation $\phi _{y_{1}y_{2 }}=\rho$ .

Antag att ${\displaystyle r_{2}=Q(y_{2})} ,$ korrelationen mellan $y_{1}$ och $r_{2}$ är,

$\phi _{y_{1}r_{2}}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}} \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }y_{1}Q(y_{2})e^{-{\frac {y_{1}^ {2}+y_{2}^{2}-2\rho y_{1}y_{2}}{2(1-\rho ^{2})}}}\,dy_{1}dy_{2}$ .

Eftersom

$\int _{-\infty }^{\infty }y_{1}e^{-{\frac {1}{2(1-\rho ^{2})} }y_{1}^{2}+{\frac {\rho y_{2}}{1-\rho ^{2}}}y_{1}}\,dy_{1}=\rho {\sqrt { 2\pi (1-\rho ^{2})}}y_{2}e^{\frac {\rho ^{2}y_{2}^{2}}{2(1-\rho ^{2 })}}$ ,

korrelationen $\phi _{y_{1}r_{2}}$ kan förenklas som

$\phi _{y_{1}r_{2}}={\frac { \rho }{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }y_{2}Q(y_{2})e^{-{\frac {y_{2}^ {2}}{2}}}\,dy_{2}$ .

Integralen ovan anses endast bero på distorsionskarakteristiken $Q()$ och är oberoende av $\rho$ .

När vi kommer ihåg att $\rho =\phi _{y_{1}y_{2}}$ observerar vi att för en given distorsionskarakteristik $Q()$ , förhållande ${\frac {\phi _{y_{1}r_{2}}}{\phi _{y_{1}y_{2}}}}$ är $K_{Q}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}} \int _{-\infty }^{\infty }y_{2}Q(y_{2})e^{-{\frac {y_{2}^{2}}{2}}}\,dy_{ 2}$ .

Därför kan korrelationen skrivas om i formen

$\phi _{y_{1}r_{2}}=K_{Q}\phi _{y_{1}y_{2}}$ .

Ovanstående ekvation är det matematiska uttrycket för den angivna "Bussgangs sats".

Om ${\displaystyle Q(x)={\text{tecken}}(x)} ,$ eller kallas enbits kvantisering, då $K_{Q}={\frac {2}{\sqrt {2\pi }}}\int _{0}^{\infty }y_{2}e ^{-{\frac {y_{2}^{2}}{2}}}\,dy_{2}={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}$ .

Arcsine lag

Om de två slumpvariablerna båda är förvrängda, dvs. $r_{1}=Q(y_{1}),r_{2}=Q (y_{2})$ , korrelationen mellan $r_{1}$ och $r_{2}$ är

$\phi _{r_{1}r_ {2}}=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }Q(y_{1})Q(y_{2})p(y_{1 },y_{2})\,dy_{1}dy_{2}$ .

När $Q(x)={\text{tecken}}(x)$ blir uttrycket,

$\phi _{r_{1}r_{2}}={\frac {1}{2\ pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\left[\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty}e^{-\alpha }\ ,dy_{1}dy_{2}+\int _{-\infty }^{0}\int _{-\infty }^{0}e^{-\alpha }\,dy_{1}dy_{2 }-\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{0}e^{-\alpha }\,dy_{1}dy_{2}-\int _{-\infty }^{0}\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha }\,dy_{1}dy_{2}\right]$

där $\alpha ={\frac {y_{1}^{2}+y_{2}^{2 }-2\rho y_{1}y_{2}}{2(1-\rho ^{2})}}$ .

Märker det

${\ display -\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }p(y_{1},y_{2})\,dy_{1}dy_{2}={\frac {1 }{2\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\left[\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{- \alpha }\,dy_{1}dy_{2}+\int _{-\infty }^{0}\int _{-\infty }^{0}e^{-\alpha }\,dy_{1 }dy_{2}+\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{0}e^{-\alpha }\,dy_{1}dy_{2}+\int _ {-\infty }^{0}\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha }\,dy_{1}dy_{2}\right]=1}$ ,

och $\int _{0}^{\infty }\int _{0} ^{\infty }e^{-\alpha }\,dy_{1}dy_{2}=\int _{-\infty }^{0}\int _{-\infty }^{0}e^{ -\alpha }\,dy_{1}dy_{2}$ , $\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{0}e^{-\alpha }\,dy_{1}dy_{2}=\int _{-\infty }^{0 }\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha }\,dy_{1}dy_{2}$ ,

vi kan förenkla uttrycket för $\phi _{r_{1}r_{2}}$ som

$\phi _{r_{1}r_{2}}={\frac {4 }{2\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha } \,dy_{1}dy_{2}-1$

Det är också bekvämt att introducera den polära koordinaten $y_{1}=R\cos \theta ,y_{2}=R\sin \theta$ . Man finner alltså att

$\phi _{r_{1} r_{2}}={\frac {4}{2\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\int _{0}^{\pi /2}\int _{0 }^{\infty }e^{-{\frac {R^{2}-2R^{2}\rho \cos \theta \sin \theta \ }{2(1-\rho ^{2})} }}R\,dRd\theta -1={\frac {4}{2\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\int _{0}^{\pi /2} \int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {R^{2}(1-\rho \sin 2\theta )}{2(1-\rho ^{2})}} }R\,dRd\theta -1$ .

Integration ger

$\phi _{r_{1}r_{2}}={\frac {2{\sqrt {1-\rho ^{2}}}} {\pi }}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{1-\rho \sin 2\theta }}-1=-{\frac {2}{\ pi }}\arctan \left({\frac {\rho -\tan \theta }{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}\right){\Bigg |}_{0}^{\ pi /2}-1={\frac {2}{\pi }}\arcsin(\rho )$ ，

Detta kallas "Arcsine law", som först hittades av JH Van Vleck 1943 och publicerades på nytt 1966. "Arcsine law" kan också bevisas på ett enklare sätt genom att tillämpa Prices sats.

Funktionen $f(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin x$ kan approximeras som $f(x)\approx {\frac {2}{\pi }}x$ när $x$ är liten.

Prices sats

Givet två gemensamt normala slumpvariabler $y_{1}$ och $y_{2}$ med gemensam sannolikhetsfunktion

${\displaystyle p(y_{1 },y_{2})={\frac {1}{2\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}e^{-{\frac {y_{1}^{2} +y_{2}^{2}-2\rho y_{1}y_{2}}{2(1-\rho ^{2})}}}}$ ,

vi bildar medelvärdet

${ \displaystyle I(\rho )=E(g(y_{1},y_{2}))=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\ infty }g(y_{1},y_{2})p(y_{1},y_{2})\,dy_{1}dy_{2}}$

av någon funktion $g(y_{1},y_{2})$ av $(y_{1},y_{2})$ . Om $g(y_{1},y_{2})p(y_{1},y_{2})\rightarrow 0$ som $(y_{1},y_{2})\rightarrow 0$ , sedan

${\frac {\partial ^{n}I(\rho )}{\partial \rho ^{ n}}}=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial ^{2n}g(y_{1},y_{ 2})}{\partial y_{1}^{n}\partial y_{2}^{n}}}p(y_{1},y_{2})\,dy_{1}dy_{2}= E\left({\frac {\partial ^{2n}g(y_{1},y_{2})}{\partial y_{1}^{n}\partial y_{2}^{n}}} \right)$ .

Bevis. Den gemensamma karakteristiska funktionen för de slumpmässiga variablerna $y_{1}$ och $y_{2}$ är per definition integralen

$\Phi (\omega _{1},\omega _{2})=\int _{-\infty }^{\infty }\ int _{-\infty }^{\infty }p(y_{1},y_{2})e^{j(\omega _{1}y_{1}+\omega _{2}y_{2} )}\,dy_{1}dy_{2}=\exp \left\{-{\frac {\omega _{1}^{2}+\omega _{2}^{2}+2\rho \ omega _{1}\omega _{2}}{2}}\right\}$ .

Av Fouriertransformens tvådimensionella inversionsformel följer det

$p(y_{1},y_{2})={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _ {-\infty }^{\infty }\Phi (\omega _{1},\omega _{2})e^{-j(\omega _{1}y_{1}+\omega _{2} y_{2})}\,d\omega _{1}d\omega _{2}={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\ infty }\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left\{-{\frac {\omega _{1}^{2}+\omega _{2}^{2}+2\ rho \omega _{1}\omega _{2}}{2}}\right\}e^{-j(\omega _{1}y_{1}+\omega _{2}y_{2}) }\,d\omega _{1}d\omega _{2}$ .

Att därför plugga in uttrycket för $p(y_{1},y_{2})$ i $I(\rho )$ , och differentiera med avseende på $\rho$ , får vi

${\begin{aligned}{\frac {\partial ^{n}I(\rho )}{\partial \rho ^{n}}}&=\int _{-\infty }^ {\infty }\int _{-\infty }^{\infty }g(y_{1},y_{2})p(y_{1},y_{2})\,dy_{1}dy_{2 }\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }g(y_{1},y_{2})\left({\frac { 1}{4\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial ^{n}\Phi (\omega _{1},\omega _{2})}{\partial \rho ^{n}}}e^{-j(\omega _{1}y_{1}+\omega _{2} y_{2})}\,d\omega _{1}d\omega _{2}\right)\,dy_{1}dy_{2}\\&=\int _{-\infty }^{\ infty }\int _{-\infty }^{\infty }g(y_{1},y_{2})\left({\frac {(-1)^{n}}{4\pi ^{2 }}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\omega _{1}^{n}\omega _{2}^{n}\ Phi (\omega _{1},\omega _{2})e^{-j(\omega _{1}y_{1}+\omega _{2}y_{2})}\,d\omega _{1}d\omega _{2}\right)\,dy_{1}dy_{2}\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^ {\infty }g(y_{1},y_{2})\left({\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\Phi (\omega _{1},\omega _{2}){\frac {\partial ^{2n}e^{-j(\omega _{1} y_{1}+\omega _{2}y_{2})}}{\partial y_{1}^{n}\partial y_{2}^{n}}}\,d\omega _{1} d\omega _{2}\right)\,dy_{1}dy_{2}\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty } g(y_{1},y_{2}){\frac {\partial ^{2n}p(y_{1},y_{2})}{\partial y_{1}^{n}\partial y_{ 2}^{n}}}\,dy_{1}dy_{2}\\\end{aligned}}$

Efter upprepad integrering av delar och användning av villkoret vid $\infty$ , får vi Prisets sats.

${\begin{aligned}{\frac {\partial ^{n}I(\rho )}{\partial \rho ^{n}}}&=\int _{-\infty }^{\ infty }\int _{-\infty }^{\infty }g(y_{1},y_{2}){\frac {\partial ^{2n}p(y_{1},y_{2})} {\partial y_{1}^{n}\partial y_{2}^{n}}}\,dy_{1}dy_{2}\\&=\int _{-\infty }^{\infty } \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial ^{2}g(y_{1},y_{2})}{\partial y_{1}\partial y_{2}} }{\frac {\partial ^{2n-2}p(y_{1},y_{2})}{\partial y_{1}^{n-1}\partial y_{2}^{n-1 }}}\,dy_{1}dy_{2}\\&=\cdots \\&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{ \frac {\partial ^{2n}g(y_{1},y_{2})}{\partial y_{1}^{n}\partial y_{2}^{n}}}p(y_{1 },y_{2})\,dy_{1}dy_{2}\end{aligned}}$

Bevis på Arcsine lag genom Prices sats

Om $g(y_{1},y_{2})={\text{tecken}}(y_{1}){ \text{tecken}}(y_{2})$ , sedan ${\frac { \partial ^{2}g(y_{1},y_{2})}{\partial y_{1}\partial y_{2}}}=4\delta (y_{1})\delta (y_{2 })$ där $\delta ()$ är Dirac delta-funktionen.

Genom att ersätta Prices teorem får vi,

${\frac {\partial E({\text{tecken}}(y_{1}){\text{tecken}}(y_{2 }))}{\partial \rho }}={\frac {\partial I(\rho )}{\partial \rho }}=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{- \infty }^{\infty }4\delta (y_{1})\delta (y_{2})p(y_{1},y_{2})\,dy_{1}dy_{2}={\ frac {2}{\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}$ .

När $\rho =0$ , $I(\rho )=0$ . Således

$E\left({\text{tecken }}(y_{1}){\text{tecken}}(y_{2})\right)=I(\rho )={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{ \rho }{\frac {1}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}\,d\rho ={\frac {2}{\pi }}\arcsin(\rho )$ ,

vilket är Van Vlecks välkända resultat av "Arcsine law".

Ansökan

Detta teorem innebär att en förenklad korrelator kan utformas. Istället för att behöva multiplicera två signaler, minskar korskorrelationsproblemet till grindningen [ av en signal med en annan.

Vidare läsning

• EW Bai; V. Cerone; D. Regruto (2007) "Separerbara ingångar för identifiering av blockorienterade olinjära system", Proceedings of the 2007 American Control Conference (New York City, 11–13 juli 2007) 1548–1553