Buchholz psi-funktioner

Buchholz psi-funktioner är en hierarki av ordinalfunktioner med ett argument ψ $\displaystyle \psi _{\nu }(\alpha )}$ som introducerades av den tyske matematikern Wilfried Buchholz 1986. Dessa funktioner är en förenklad version av $\theta$ -funktioner, men har ändå samma styrka som de. Senare utvidgades detta tillvägagångssätt av Jaiger och Schütte .

Definition

Buchholz definierade sina funktioner enligt följande. Definiera:

• ₀ Ω _ξ = ω _ξ om ξ > 0, Ω = 1

Funktionerna ψ _v (α) för α en ordinal, v en ordinal som mest ω, definieras av induktion på α enligt följande:

• ψ _v (α) är den minsta ordinal inte i C _v (α)

där C _v (α) är den minsta mängden så att

• C _v (α) innehåller alla ordningstal mindre än Ω _v
• C _v (α) stängs under ordinal addition
• C _v (α) stängs under funktionerna ψ _u (för u ≤ω) som tillämpas på argument mindre än α.

Gränsen för denna notation är Takeuti-Feferman-Buchholz-ordinalen .

Egenskaper

Låt $P$ vara klassen av additivt huvudsakliga ordningstal. Buchholz visade följande egenskaper hos denna funktion:

• $\psi _{\nu }(0)=\Omega _{\nu },$
• $\psi _{\nu }(\alpha )\in P,$
• $\psi _{\nu }(\alpha +1)=\min \{\gamma \in P:\psi _{\nu }(\alpha )<\gamma \}{\text{ if }}\alpha \in C_{\nu }(\alpha ),$
• $\Omega _{\nu }\leq \psi _{\nu }(\alpha )<\Omega _{\nu +1}$
• $\psi _{0}(\alpha )=\omega ^{\alpha }{\text{ if }}\alpha <\varepsilon _{0},$
• $\psi _{\nu }(\alpha )=\omega ^{\Omega _{\nu}+ \alpha }{\text{ if }}\alpha <\varepsilon _{\Omega _{\nu }+1}{\text{ och }}\nu \neq 0,$
• $\theta (\varepsilon _{\Omega _{\nu }+1},0)=\psi (\varepsilon _{\Omega _{\nu}+1}){\text{ för }}0 <\nu \leq \omega .$

Grundläggande sekvenser och normal form för Buchholz funktion

Normal form

Normalformen för 0 är 0. Om $\alpha$ är ett ordningstal som inte är noll $\alpha <\Omega _{\omega }$ så är normalformen för $\alpha$ är $\alpha =\psi _{\nu _{1}}(\beta _ {1})+\psi _{\nu _{2}}(\beta _{2})+\cdots +\psi _{\nu _{k}}(\beta _{k})$ där $\nu _{i}\in \mathbb {N} _{0},k\in \mathbb {N} _{ >0},\beta _{i}\in C_{\nu _{i}}(\beta _{i})$ och $\psi _{\nu _{1}}(\beta _{1})\geq \psi _{\nu _{2}}(\beta _{2})\ geq \cdots \geq \psi _{\nu _{k}}(\beta _{k})$ och varje $\beta _{i}$ skrivs också i normal form.

Grundläggande sekvenser

Grundsekvensen för ett ordningstal $\alpha$ med cofinality $\operatorname {cof} (\alpha )=\beta$ är en strikt ökande sekvens $(\alpha [\eta ])_{\eta <\beta }$ med längden $\beta$ och med gränsen $\alpha$ , där ${\ displaystyle \alpha [\eta ]}$ är det $\eta$ -te elementet i denna sekvens. Om $\alpha$ är en efterföljande ordinal är $\operatorname {cof} (\alpha )=1$ och grundsekvensen har bara ett element $\alpha [0]=\alpha -1$ . Om $\alpha$ är en limitordinal då $\operatorname {cof} (\alpha )\in \{\omega \}\cup \{\Omega _{\mu +1}\mid \mu \geq 0\}$ .

För ordtal som inte är noll ${\displaystyle \alpha <\Omega _{\omega }},$ skrivna i normal form, definieras fundamentala sekvenser enligt följande:

1. Om $\alpha =\psi _{\nu _{1}}(\beta _{ 1})+\psi _{\nu _{2}}(\beta _{2})+\cdots +\psi _{\nu _{k}}(\beta _{k})$ där $k\geq 2$ sedan $\operatorname {cof} (\alpha )=\operatörsnamn {cof} (\psi _{ \nu _{k}}(\beta _{k}))$ och $\alpha [\eta ]=\psi _{\nu _{1}}(\beta _{1})+\cdots +\psi _{\nu _{k -1}}(\beta _{k-1})+(\psi _{\nu _{k}}(\beta _{k})[\eta ]),$
2. Om $\alpha =\psi _{0}(0)=1$ , då $\operatorname {cof} (\alpha )=1$ och $\alpha [0]=0$ ,
3. Om $\alpha =\psi _{\nu +1}(0)$ , då $\operatorname {cof} (\ alpha )=\Omega _{\nu +1}$ och $\alpha [\eta ]=\Omega _{\nu +1}[\eta ]=\eta$ ,
4. Om $\alpha =\psi _{\nu }(\beta +1)$ så är $\operatörsnamn {cof} (\alpha ) =\omega$ och ${\displaystyle \alpha [\eta ]=\psi _{\nu }(\beta )\cdot \eta } ($ och notera: $\psi _{\nu }(0)=\Omega _{\nu }$ ),
5. Om $\alpha =\psi _{\nu }(\beta )$ och $\operatörsnamn {cof} (\beta )\in \{\omega \}\cup \{\Omega _{\mu +1}\mid \mu <\nu \}$ sedan $\operatörsnamn {cof} (\alpha )=\operatörsnamn {cof} (\beta )$ och $\alpha [\eta ]=\ psi _{\nu }(\beta [\eta ])$ ,
6. Om $\alpha =\psi _{\nu }(\beta )$ och $\operatörsnamn {cof } (\beta )\i \{\Omega _{\mu +1}\mid \mu \geq \nu \}$ sedan $\operatorname {cof} (\alpha )= \omega$ och $\alpha [\eta ]=\psi _{\nu }(\beta [\gamma [\eta ]])$ där $\left\{{\begin{array}{lcr}\gamma [0]=\Omega _{\mu }\\\gamma [\eta +1]=\psi _{\mu}(\beta [\gamma [\eta]])\\\end{array}}\right.$ .

Förklaring

Buchholz arbetar i Zermelo–Fraenkels mängdteori, det betyder att varje ordinal $\alpha$ är lika med mängden $\{\beta \mid \beta <\alpha \}$ . Då betyder villkor ${\displaystyle C_{\nu }^{0}(\alpha )=\Omega _{\nu }} att set$ C $\displaystyle C_{\nu }^{0}(\alpha )}$ inkluderar alla ordningstal mindre än $\Omega _{\nu }$ med andra ord $C_{ \nu }^{0}(\alpha )=\{\beta \mid \beta <\Omega _{\nu }\}$ .

Villkoret $C_{\nu }^{n+1}(\alpha )=C_{\nu }^{n}(\alpha )\cup \{\gamma \mid P(\gamma )\subseteq C_{\nu }^{n}(\alpha )\}\cup \{\psi _{\mu}(\xi )\mid \xi \in \alpha \cap C_{\nu }^{ n}(\alpha )\wedge \mu \leq \omega \}$ betyder att mängden $C_{\nu }^{n+1}(\alpha )$ inkluderar:

• alla ordningstal från föregående uppsättning $C_{\nu }^{n}(\alpha )$ ,
• alla ordningstal som kan erhållas genom att summera de additivt huvudsakliga ordningstalen från föregående uppsättning $C_{\nu }^{n}(\alpha )$ ,
• alla ordningstal som kan erhållas genom att tillämpa ordningstal mindre än $\alpha$ från föregående uppsättning $C_{\nu }^{n}(\alpha )$ som argument för funktioner $\psi _{\mu }$ , där $\mu \leq \omega$ .

Det är därför vi kan skriva om detta villkor som:

$C_{\nu }^{n+1}(\alpha )=\{\beta +\gamma ,\psi _{\mu }(\eta )\mid \beta ,\gamma ,\eta \in C_{\nu }^{n}(\alpha )\wedge \eta <\alpha \wedge \mu \leq \omega \}.$

Således förening av alla mängder $C_{\nu }^{n}(\alpha )$ med $n<\omega$ dvs ${\displaystyle C_{\nu }(\alpha )=\bigcup _{n<\omega }C_{\nu }^{n}(\alpha )} betecknar mängden av alla ordinaler$ som kan genereras från ordtal $<\aleph _{\nu }$ med funktionerna + (addition) och $\psi _{\mu }(\eta )$ , där $\mu \leq \omega$ och $\eta <\alpha$ .

Då $\psi _{\nu }(\alpha )=\min\{\gamma \mid \gamma \not \in C_{ \nu }(\alpha )\}$ är den minsta ordningen som inte tillhör denna uppsättning.

Exempel

Tänk på följande exempel:

$C_{0}^{0}(\alpha )=\{0\}=\{\beta \mid \beta <1\} ,$

$C_{0}(0)=\{0\}$ (eftersom inga funktioner $\psi (\eta <0)$ och 0 + 0 = 0).

Då är $\psi _{0}(0)=1$ .

$C_{0}(1)$ inkluderar $\psi _{0}(0)=1$ och alla möjliga summor av naturliga tal och därför $\psi _{0}(1)=\omega$ – första transfinita ordinal, som är större än alla naturliga tal enligt dess definition.

$C_{0}(2)$ inkluderar $\psi _{0}(0)=1,\psi _{0}( 1)=\omega$ och alla möjliga summor av dem och därför $\psi _{0}(2)=\omega ^{2}$ .

Om $\alpha =\omega$ så är $C_{0}(\alpha )=\{0,\psi (0)=1,\ldots ,\psi (1)=\omega ,\ldots ,\psi ( 2)=\omega ^{2},\ldots ,\psi (3)=\omega ^{3},\ldots \}$ och $\psi _{0}(\ omega )=\omega ^{\omega }$ .

Om $\alpha =\Omega$ så är $C_{0}(\alpha )=\{0,\psi (0)=1,\ldots ,\psi (1)=\omega ,\ldots ,\ psi (\omega )=\omega ^{\omega },\ldots ,\psi (\omega ^{\omega})=\omega ^{\omega ^{\omega }},\ldots \}$ och $\psi _{0}(\Omega )=\varepsilon _{0}$ – det minsta epsilontalet dvs första fixpunkten av $\alpha =\omega ^{\ alfa }$ .

Om $\alpha =\Omega +1$ så är $C_{0}(\alpha )=\{0,1,\ldots ,\psi _{0}(\Omega )=\varepsilon _{0},\ldots ,\varepsilon _{0 }+\varepsilon _{0},\ldots ,\psi _{1}(0)=\Omega ,\ldots \}$ och $\psi _{0}(\Omega +1)=\varepsilon _{0}\omega =\omega ^{\varepsilon _{0}+1}$ .

$\psi _{0}(\Omega 2)=\varepsilon _{1}$ det andra epsilonnumret,

$\psi _{0}(\Omega ^{2})=\varepsilon _{\varepsilon _{\cdots }}=\zeta _{0}$ dvs. första fixpunkten för $\alpha =\varepsilon _{\alpha }$ ,

$\varphi (\alpha ,\beta )=\psi _{0}(\Omega ^{\alpha }(1+\beta) )$ , där $\varphi$ betecknar Veblens funktion,

$\psi _{0}(\Omega ^{\Omega })=\Gamma _{0}=\varphi (1 ,0,0)=\theta (\Omega ,0)$ , där $\theta$ anger Fefermans funktion,

$\psi _{0}(\Omega ^{\Omega ^{2}})=\varphi (1,0,0,0)$ är Ackermann-ordinalen,

$\psi _{0}(\Omega ^{\Omega ^{\omega }})$ är den lilla Veblen-ordinalen,

$\ psi _{0}(\Omega ^{\Omega ^{\Omega }})$ är den stora Veblen-ordinalen,

$\psi _{0}(\Omega \uparrow \uparrow \omega )=\psi _{0}(\varepsilon _{\Omega +1})=\theta (\varepsilon _{\Omega +1} ,0).$

Låt oss nu undersöka hur $\psi _{1}$ fungerar:

$C_ {1}^{0}(0)=\{\beta \mid \beta <\Omega _{1}\}=\{0,\psi (0)=1,2,\ldots {\text{googol }},\ldots ,\psi _{0}(1)=\omega ,\ldots ,\psi _{0}(\Omega )=\varepsilon _{0},\ldots$

${\displaystyle \ldots ,\psi _{0}(\Omega ^{\Omega })=\Gamma _{ 0},\ldots ,\psi (\Omega ^{\Omega ^{\Omega }+\Omega ^{2}}),\ldots \}} dvs$ inkluderar alla räknebara ordinaler. Och därför $C_{1}(0)$ alla möjliga summor av alla räknebara ordinaler och $\psi _{1}(0)=\Omega _{ 1}$ första oräkneliga ordinal som är större än alla räknebara ordinal enligt dess definition dvs minsta tal med kardinalitet $\aleph _{1}$ .

Om $\alpha =1$ så är $C_{1}(\alpha )=\{0,\ldots ,\psi _{0}(0)=\omega ,\ldots ,\psi _{1}(0)=\Omega , \ldots ,\Omega +\omega ,\ldots ,\Omega +\Omega ,\ldots \}$ och $\psi _{1}(1)= \Omega \omega =\omega ^{\Omega +1}$ .

$\psi _{1}(2)=\Omega \omega ^{2}=\omega ^{\Omega +2},$

$\psi _{1}(\psi _{1}(0))=\psi _{1}(\ Omega )=\Omega ^{2}=\omega ^{\Omega +\Omega },$

$\psi _{1}(\psi _{1}(\psi _{1}(0)))=\omega ^{\Omega +\omega ^{\Omega + \Omega }}=\omega ^{\Omega \cdot \Omega }=(\omega ^{\Omega })^{\Omega }=\Omega ^{\Omega },$

${\displaystyle \psi _{1}^{4}(0)=\Omega ^{\Omega ^{\Omega }},} ψ$

$\displaystyle \psi _ {1}^{k+1}(0)=\Omega \uparrow \uparrow k}$ där $k$ är ett naturligt tal, $k\geq 2$ ,

$\psi _{1}(\Omega _{2})=\psi _{1}^{\omega }(0)=\Omega \uparrow \uparrow \omega =\varepsilon _{\Omega +1 }.$

För fallet $\psi (\psi _{2}(0))=\psi (\Omega _{2})$ mängden $C_{0}(\Omega _{2})$ innehåller funktioner $\psi _{0}$ med alla argument mindre än $\Omega _{2}$ dvs sådana argument som $0,\psi _{1}(0),\psi _{1}( \psi _{1}(0)),\psi _{1}^{3}(0),\ldots ,\psi _{1}^{\omega }(0)$

och då

$\psi _{0}(\Omega _{2})=\psi _{0}(\psi _{1}(\Omega _{2}))=\psi _{0}(\varepsilon _{\Omega +1}).$

I det allmänna fallet:

$\psi _{0}(\Omega _{\nu +1})=\psi _{0}(\psi _{\nu}(\Omega _{\nu +1}))=\psi _{0}(\varepsilon _{\Omega _{\nu }+1})=\theta (\varepsilon _{\Omega _{\nu}+1},0).$

Vi kan också skriva:

$\theta (\Omega _{\nu },0)=\psi _{0}(\Omega _{\ nu }^{\Omega }){\text{ (för }}1\leq \nu )<\omega$

Ordinal notation

Buchholz definierade en ordningsnotation ${\mathsf {(OT,<)}}$ associerad med $\psi$ -funktionen. Vi definierar samtidigt uppsättningarna $T$ och $PT$ som formella strängar bestående av $0,D_{v}$ indexerade med $v\in \omega +1$ , klammerparenteser och kommatecken på följande sätt:

• $0\in T\land 0\in PT$ ,
• $\forall (v,a)\in (\omega +1)\ gånger T( D_{v}a\in T\land D_{v}a\in PT)$ .
• $\forall (a_{0},a_{1})\i PT^{2}((a_{0} ,a_{1})\in T)$ .
• $\exists s(a_{0}=s)\land (a_{0}, a_{1})\in T\times PT\rightarrow (s,a_{1})\in T$ .

Ett element av $T$ kallas en term , och ett element av $PT$ kallas en huvudterm . Per definition $T$ en rekursiv mängd och $PT$ är en rekursiv delmängd av $T$ . Varje term är antingen $0$ , en huvudterm eller en spetsad array av huvudtermer med längd $\geq 2$ . Vi betecknar $a\in PT$ med $(a)$ . Enligt konvention kan varje term uttryckas unikt som antingen $0$ eller en stagad, icke-tom uppsättning huvudtermer. Eftersom klausulerna 3 och 4 i definitionen av $T$ och $PT$ endast är tillämpliga på arrayer med längden $\geq 2$ orsakar denna konvention ingen allvarlig tvetydighet.

Vi definierar sedan en binär relation $a<b$ på $T$ på följande sätt:

• $b=0\högerpil a<b=\bot$
• $a=0\rightarrow (a<b\leftrightarrow b\neq 0)$
• Om $a\neq 0\land b\neq 0$ , då:
  • Om $a=D_{u}a'\land b=D_{v}b'$ för vissa $((u,a'),(v,b'))\in ((\omega +1)\ gånger T)^{2}$ , då är $a<b$ sant om något av följande är sant:
    • $u<v$
    • $u=v\land a'<b'$
  • Om $a=(a_{0},...,a_{n})\land b= (b_{0},...,b_{m})$ för vissa $(n,m)\in \mathbb {N} ^{2 }\land 1\leq n+m$ , då är $a<b$ sant om något av följande är sant:
    • $\forall i\in \mathbb {N} \land i\leq n(n<m\land a_{i}=b_ {i})$
    • $\exists k\in \mathbb {N} \ forall i\in \mathbb {N} \land i<k(k\leq min\{n,m\}\land a_{k}<b_{k}\land a_{i}=b_{1})$

$<$ är en rekursiv strikt total ordning på $T$ . Vi förkortar $(a<b)\lor (a=b)$ som $a\leq b$ . Även om $\leq$ i sig inte är en välordning, bildar dess begränsning till en rekursiv delmängd ${\displaystyle OT\subset T} ,$ som kommer att beskrivas senare, en välordning. För att definiera $OT$ definierar vi en delmängd $G_{u}a\subset T$ för varje ${\ displaystyle (u,a)\in (\omega +1)\times T}$ på följande sätt:

• $a=0\högerpil G_{u}a=\varnothing$
• Antag att $a=D_{v}a'$ för vissa $(v,a')\in (\omega +1)\ gånger T$ , sedan:
  • $u\leq v\rightarrow G_{u}a=\{a'\}\cup G_{u}a'$
  • $u>v\rightarrow G_{u}a=\varnothing$

• Om $a=(a_{0},...,a_{k})$ för vissa ${ \displaystyle (a_{i})_{i=0}^{k}\in PT^{k+1}}$ för vissa ${ \displaystyle k\in \mathbb {N} \backslash \{0\},G_{u}a=\bigcup _{i=0}^{k}G_{u}a_{i}}$ .

$b\in G_{u}a$ är en rekursiv relation på $(u,a,b)\in (\omega +1)\ gånger T^{2}$ . Slutligen definierar vi en delmängd $OT\subset T$ på följande sätt:

• $0\in OT$
• För alla $(v,a)\in (\omega +1)\times T$ , $D_{v}a \in OT$ är ekvivalent med $a\in OT$ och, för alla ${\displaystyle a'\in G_{v}a} ,$ a $\displaystyle a'<a}$ .
• För alla $(a_{i})_{i=0}^{k}\in PT^{k+1}$ , $(a_{0},...,a_{k})\in OT$ är ekvivalent med $(a_{i })_{i=0}^{k}\in OT$ och $a_{k}\leq ...\leq a_{0}$ .

$OT$ är en rekursiv delmängd av $T$ , och ett element i $OT$ kallas en ordinalterm . Vi kan sedan definiera en karta $o:OT\rightarrow C_{0}(\varepsilon _{\Omega _{\omega }+1})$ i följande sätt:

• $a=0\högerpil o(a)=0$
• Om $a=D_{v}a'$ för vissa $(v,a')\in (\omega +1)\ gånger OT$ , sedan $o(a)=\psi _{v}(o(a'))$ .
• Om $a=(a_{0},...,a_{k})$ för vissa ${\displaystyle (a_{i})_{i=0}^{k}\in (OT\cap PT)^{k+1}} med k ∈ N$ ∖ $\ i \mathbb {N} \backslash \{0\}}$ , sedan ${\displaystyle o(a)=o(a_{0})\#...\#o(a_{k})} , där$ # $\displaystyle \#}$ anger den fallande summan av ordningstal, som sammanfaller med den vanliga additionen genom definitionen av $OT$ .

Buchholz verifierade följande egenskaper för $o$ :

• Kartan $o$ är en ordningsbevarande bijektiv karta med avseende på $<$ och $\in$ . Speciellt $o$ är en rekursiv strikt välordning på $OT$ .
• För alla $a\in OT$ som uppfyller ${\displaystyle a<D_{1}0} ,$ sammanfaller $o(a)$ med ordningstypen för $<$ begränsad till den räknebara delmängden $\{x\in OT\;|\;x<a\}$ .
• Takeuti -Feferman-Buchholz-ordinalen sammanfaller med ordinaltypen för $<$ begränsad till den rekursiva delmängden $\{x\in OT\;|\;x<D_{1}0\}$ .
• Ordinaltypen för $(OT,<)$ är större än Takeuti-Feferman-Buchholz-ordningen .
• För alla ${\displaystyle v\in \mathbb {N} \;\backslash \;\{0\}} begränsas$ välgrunden för $<$ till den rekursiva delmängden $\{x\in OT\;|\;x<D_{0}D_{v+1}0\}$ i betydelsen icke-existensen av en primitiv rekursiv oändlig fallande sekvens är inte bevisbar under ${\mathsf {ID}}_{v}$ .
• Det välgrundade för $<$ begränsad till den rekursiva delmängden $\{x\in OT\;|\;x<D_{0}D_{\omega }0\}$ i samma mening som ovan är inte bevisbar under $\Pi _{1}^{1}-CA_{0}$ .

Normal form

Den normala formen för Buchholz funktion kan definieras genom att standardformen dras tillbaka för den ordningsnotation som är kopplad till den med $o$ . Mängden $NF$ av predikat på ordinaler i $C_{0}(\varepsilon _{\Omega _{\omega }+1})$ är nämligen definierad på följande sätt:

• Predikatet $\alpha =_{NF}0$ på en ordinal $\alpha \in C_{0}(\varepsilon _{\Omega _ {\omega }+1})$ definierad som $\alpha =0$ tillhör $NF$ .

• Predikatet $\alpha _{0}=_{NF}\psi _{k_{1}}(\alpha _{1})$ på ordinaler $\alpha _{0},\alpha _{1}\in C_{0}(\varepsilon _{\Omega _{\omega }+1})$ med $k_{1}=\omega +1$ definierad som $\alpha _{0}=\psi _{k_{1}}( \alpha _{1})$ och $\alpha _{1}=C_{k_{1}}(\alpha _{1})$ tillhör ${ \displaystyle NF}$ .
• Predikatet $\alpha _{0}=_{NF}\alpha _{1}+...+\alpha _{n}$ på ordningstal $\alpha _{0},\alpha _{1},...,\alpha _{n}\in C_{0}(\varepsilon _{ \Omega _{\omega }+1})$ med ett heltal $n>1$ definierat som $\alpha _{0}=\alpha _{1}+...+\alpha _{n}$ , ${\displaystyle \alpha _{1}\geq ...\geq \alpha _{n}} ,$ och $\alpha _{1},...,\alpha _{n}\in AP$ tillhör $NF$ . Här $+$ en funktionssymbol snarare än en faktisk addition, och $AP$ betecknar klassen av additiva huvudtal.

Det är också användbart att ersätta det tredje fallet med följande som erhålls genom att kombinera det andra villkoret:

• Predikatet $\alpha _{0}=_{NF}\psi _{k_{1}}(\alpha _{1})+...+\psi _{k_{ n}}(\alpha _{n})$ på ordningstal $\alpha _{0},\alpha _{1},...,\alpha _{n}\in C_{0}(\varepsilon _{ \Omega _{\omega }+1})$ med ett heltal $n>1$ och $k_{1},...,k_{n}\in \omega +1$ definierad som $\alpha _{0}=\psi _{k_{1}}(\alpha _{1})+...+\psi _{k_{n}}( \alpha _{n})$ , $\psi _{k_{1}}(\alpha _{1})\geq ...\geq \psi _{k_{n}}(\alpha _{n })$ och $\alpha _{1}\in C_{k_{1}}(\alpha _{1}),...,\alpha _{n }\in C_{k_{n}}(\alpha _{n})\in AP$ tillhör $NF$ .

Vi noterar att dessa två formuleringar inte är likvärdiga. Till exempel, $\psi _{0}(\Omega )+1=_{NF}\psi _{0}(\zeta _{1})+\psi _{0}(0)$ är en giltig formel som är falsk med avseende på den andra formuleringen på grund av $\zeta _{1}\neq C_{0}(\zeta _{1})$ , medan det är en giltig formel som är sann med avseende på den första formuleringen på grund av $\psi _{0}(\Omega )+1=\psi _{0}(\zeta _{1})+\psi _{0}(0)$ , $\psi _{0}(\zeta _{1}),\psi _{0}(0)\in AP$ och $\psi _{ 0}(\zeta _{1})\geq \psi _{0}(0)$ . På så sätt beror föreställningen om normalform starkt på sammanhanget. I båda formuleringarna kan varje ordinal i $C_{0}(\varepsilon _{\Omega _{\omega }+1})$ uttryckas unikt i normal form för Buchholz funktion.