Brocard cirkel

I geometri är Brocard -cirkeln (eller sjupunktscirkeln ) en cirkel som härleds från en given triangel. Den passerar genom circumcenter och symmedian och är centrerad i mitten av linjesegmentet som förenar dem (så att detta segment är en diameter ).

Ekvation

När det gäller sidolängderna $a$ , $b$ och $c$ för den givna triangeln, och ytkoordinaterna $(x,y ,z)$ för punkter inuti triangeln (där $x$ -koordinaten för en punkt är arean av triangeln som skapas av den punkten med sidan av längden ${\displaystyle a},$ etc), Brocard cirkeln består av de punkter som uppfyller ekvationen

$a^{2}yz+b^{2}zx+c^{2}xy={\frac {a^{2}b^{2}c^{2}(x+y+z) }{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\left({\frac {x}{a^{2}}}+{\frac {y}{b^{2 }}}+{\frac {z}{c^{2}}}\right).$

Relaterade punkter

De två Brocard-punkterna ligger på denna cirkel, liksom hörnen på Brocard-triangeln . Dessa fem punkter, tillsammans med de andra två punkterna på cirkeln (omkretscentrum och symmedian), motiverar namnet "sjupunktscirkel".

Brocard-cirkeln är koncentrisk med den första Lemoine-cirkeln .

Speciella fall

Om triangeln är liksidig , sammanfaller circumcenter och symmedian och därför minskar Brocard-cirkeln till en enda punkt.

Historia

Brocard-cirkeln är uppkallad efter Henri Brocard , som 1881 presenterade en artikel om den för den franska föreningen för vetenskapens framsteg i Alger .

externa länkar

• Weisstein, Eric W. "Brocard Circle" . MathWorld .

Se även

• Niopunktscirkel