Briggs–Bers kriterium

I stabilitetsteorin är Briggs -Bers-kriteriet ett kriterium för att avgöra om den triviala lösningen till en linjär partiell differentialekvation med konstanta koefficienter är stabil, konvektivt instabil eller absolut instabil. Detta är ofta användbart i tillämpad matematik , särskilt i vätskedynamik , eftersom linjära PDE ofta styr små störningar i ett system, och vi är intresserade av om sådana störningar växer eller avtar. Briggs–Bers-kriteriet är uppkallat efter RJ Briggs och A. Bers.

Antag att PDE har formen $Ly=0$ , där $y=y(x,t)$ är en funktion av rum och tid ( ${ \displaystyle x}$ och $t$ ). Den partiella differentialoperatorn $L=L(\partial _{x},\partial _{t})$ har konstanta koefficienter, som inte beror på $x$ och $t$ . Då är en lämplig ansats för $y$ den normala lösningen

$y={\hat {y}}\exp(ikx-i\omega t).$

Att göra denna ansatz motsvarar att överväga problemet i Fourierrymden – lösningen kan brytas ner i dess Fourierkomponenter i rum och tid. Göra denna ansatz, blir ekvationen

$L(ik,-i\omega ){\hat {y}}\exp(ikx-i\omega t)=0;$

eller, enklare,

$L(ik,-i\omega )=0.$

Detta är en spridningsrelation mellan $k$ och $\omega$ , och berättar hur varje Fourier-komponent utvecklas över tiden. I allmänhet kan spridningsrelationen vara mycket komplicerad, och det kan finnas flera $\omega$ som uppfyller relationen för ett givet värde på ${\displaystyle k} ,$ eller vice versa. Lösningarna på spridningsrelationen kan vara komplext värderade.

Nu kan ett initialvillkor $y(x,0)$ skrivas som en överlagring av Fourier-lägen av formen $\exp(ikx)$ . I praktiken kommer det initiala tillståndet att ha komponenter av alla frekvenser. Var och en av dessa komponenter utvecklas enligt dispersionsrelationen, och därför kan lösningen vid en senare tidpunkt $y(x,t)$ erhållas genom Fourier-inversion. I det enkla fallet där $L$ är första ordningen i tid, bestämmer dispersionsrelationen ett unikt värde på $\omega (k)$ för varje givet värde på $k$ , och så

$y(x,t)={\frac {1}{2 \pi }}\int {\hat {y}}(k)\exp(ikx-i\omega (k)t)\,dk$

var

${\hat {y}}(k)=\int y(x,0)\exp(-ikx) \,dx$

är Fouriertransformen av initialtillståndet. I det mer allmänna fallet måste Fourier-inversionen utföras genom konturintegrering i de komplexa ${\displaystyle k}-$ och $\omega$ -planen.

Även om det kanske inte är möjligt att explicit utvärdera integralerna, kan asymptotiska egenskaper för $y(x,t)$ som $t\rightarrow \infty$ erhållas från integralen uttryck, med metoder som metoden för stationär fas eller metoden för brantaste nedstigning . I synnerhet kan vi avgöra om $y(x,t)$ avklingar eller växer exponentiellt i tiden, genom att beakta det största värdet som $\Im \omega$ kan ta. Om spridningsrelationen är sådan att $\Im \omega <0$ alltid, så kommer vilken lösning som helst att avta som $t\rightarrow \infty$ , och den triviala lösningen $y=0$ är stabil. Om det finns något läge med $\Im \omega >0$ , så växer det läget exponentiellt med tiden. Genom att överväga lägen med noll grupphastighet och bestämma om de växer eller avtar, kan vi avgöra om ett initialtillstånd som är lokaliserat kring $x=0$ flyttar sig bort från $x=0$ när det växer. , med $y(0,t)\högerpil 0$ (konvektiv instabilitet); eller om $y(0,t)\rightarrow \infty$ (absolut instabilitet).

Övergående tillväxt

Antag att PDE är av formen

$y_{t}=Ay$

där $A$ är en linjär differentialoperator i $x$ . I allmänhet $A$ inte en normal operator . Medan stortidsbeteendet för $y$ fortfarande bestäms av egenvärdena för $A$ , kan beteendet som äger rum före detta stortidsbeteende vara dramatiskt annorlunda.

I synnerhet, medan egenvärdena för $A$ alla kan ha negativ reell del, vilket skulle förutsäga att $y$ avklingar exponentiellt vid stora tillfällen och att det triviala tillståndet $y=0$ är stabil, är det möjligt för $y$ att växa övergående och bli stor innan den förfaller. I praktiken är de linjära ekvationerna som vi arbetar med lineariseringar av mer komplicerade styrande ekvationer som Navier–Stokes ekvationer om något bastillstånd, med linearisationerna utförda under antagandet att störningsmängden $y$ är liten. Övergående tillväxt kan bryta mot detta antagande. När olinjära effekter beaktas kan ett system vara instabilt även om det linjäriserade systemet är stabilt.

Generalisering

När koefficienterna för $L$ varierar med $x$ , är detta kriterium inte längre tillämpligt. Men om variationen är mycket långsam, WKBJ-approximationen användas för att härleda en ledande ordningsapproximation till lösningen. Detta ger upphov till teorin om globala lägen , som först utvecklades av Philip Drazin 1974.