Brauer-Nesbitts sats

Inom matematik kan Brauer –Nesbitt-satsen hänvisa till flera olika satser som bevisats av Richard Brauer och Cecil J. Nesbitt i representationsteorin för ändliga grupper .

I modulär representationsteori säger Brauer -Nesbitt-satsen om block med defekt noll att ett tecken vars ordning är delbar med den högsta potensen av ett primtal p som delar ordningen för en finit grupp förblir irreducerbar när mod p reduceras och försvinner på alla element vars ordningen är delbar med p . Dessutom tillhör den ett block med defekt noll . Ett block med defekt noll innehåller endast ett vanligt tecken och endast ett modulärt tecken .

En annan version säger att om k är ett fält med karakteristisk noll, är A en k -algebra, V , W är halvenkla A -moduler som är ändliga dimensionella över k , och Tr _V = Tr _W som element i Hom _k ( A ,k ), då är V och W isomorfa som A -moduler.

Låt $G$ vara en grupp och $E$ vara något fält. Om $\rho _{i}:G\to GL_{n}(E),i=1,2$ är två finita dimensionella halvenkla representationer så att de karakteristiska polynomen för $\rho _{1}(g)$ och $\rho _{2}(g)$ sammanfaller för alla $g\in G$ , då är $\rho _{1}$ och $\rho _{2}$ isomorfa representationer. Om $char(E)=0$ eller $char(E)>n$ , då kan villkoret för de karakteristiska polynomen ändras till villkoret att Tr $\rho _{1}(g)$ =Tr $\rho _{2}(g)$ för alla ${\ displaystyle g\in G}$ .

Som en konsekvens, låt $\rho :Gal(K^{\rm {sep}}/K)\to GL_ {n}({\overline {\mathbb {Q} }}_{l})$ vara en halvenkel (kontinuerlig) $l$ -adiska representationer av den absoluta Galois-gruppen i något fält $K$ , oframifierad utanför någon ändlig uppsättning primtal $S\subset M_{K}$ . Då bestäms representationen unikt av värdena för spåren av $\rho (Frob_{p})$ för $p\in M_{K} ^{0}-S$ (använder också Chebotarevs densitetssats).

• Curtis, Reiner, Representation theory of finita groups and associative algebras , Wiley 1962.
• Brauer, R.; Nesbitt, C. Om de modulära karaktärerna i grupper. Ann. av matte. (2) 42, (1941). 556-590.