Bombieri norm

Inom matematiken är Bombieri -normen , uppkallad efter Enrico Bombieri , en norm på homogena polynom med koefficient i $\mathbb {R}$ eller $\mathbb {C}$ (det finns även en version för icke homogena univariata polynom). Denna norm har många anmärkningsvärda egenskaper, den viktigaste listas i den här artikeln.

Bombieri skalär produkt för homogena polynom

För att börja med geometrin kan Bombieris skalära produkt för homogena polynom med N variabler definieras enligt följande med multiindexnotation :

$$\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {N} ^{N}$$

per definition olika monomial är ortogonala, så att

$$\langle X^{\alpha }|X^{\beta }\rangle =0$$

om $\alpha \neq \beta ,$

medan

$$\forall \alpha \in \mathbb {N} ^{N}$$

per definition

$$\|X^{\alpha }\|^{2}={\frac {\alpha !}{|\alpha |!}}.$$

I ovanstående definition och i resten av denna artikel gäller följande notation:

om

$$\alpha =(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{N})\in \mathbb {N} ^{N} ,$$

skriva

$$|\alpha |=\summa _{i=1}^{N}\alpha _{i}$$

och

$$\alpha !=\prod _{i=1}^{N}(\alpha _{i}!)$$

och

$$X^{\alpha }=\prod _{i=1}^{N}X_{i}^{\alpha _{i}}.$$

Bombieri ojämlikhet

Den grundläggande egenskapen hos denna norm är Bombieri-ojämlikheten:

låt $P,Q$ vara två homogena polynom med respektive grad $d^{\circ }(P)$ och $d^{\circ }(Q)$ med $N$ variabler, då gäller följande olikhet:

${\frac {d^{\circ }(P)!d^{\circ }(Q)!}{(d^{\circ }(P)+d^{\circ }(Q)) !}}\|P\|^{2}\,\|Q\|^{2}\leq \|P\cdot Q\|^{2}\leq \|P\|^{2}\, \|Q\|^{2}.$

Här är Bombieri-ojämlikheten den vänstra sidan av ovanstående påstående, medan den högra sidan betyder att Bombieri-normen är en algebranorm . Att ge vänster sida är meningslöst utan den begränsningen, för i det här fallet kan vi uppnå samma resultat med vilken norm som helst genom att multiplicera normen med en väl vald faktor.

Denna multiplikativa ojämlikhet innebär att produkten av två polynom begränsas underifrån av en kvantitet som beror på de multiplicerade polynomen. Således kan denna produkt inte vara godtyckligt liten. Denna multiplikativa olikhet är användbar i metrisk algebraisk geometri och talteori .

Invarians genom isometri

En annan viktig egenskap är att Bombieri-normen är invariant genom sammansättning med en isometri :

låt $P,Q$ vara två homogena polynom av graden $d$ med $N$ variabler och låt $h$ vara en isometri av $\mathbb {R} ^{N}$ (eller $\mathbb {C} ^{N}$ ). Då har vi $\langle P\circ h|Q\circ h\rangle =\langle P|Q\rangle$ . När $P=Q$ innebär detta $\|P\circ h\|=\|P\|$ .

Detta resultat följer av en fin integrerad formulering av den skalära produkten:

$\langle P|Q\rangle ={d+N-1 \välj N -1}\int _{S^{N}}P(Z){\overline {Q(Z)}}\,d\sigma (Z)$

där $S^{N}$ är enhetssfären för $\mathbb {C} ^{N}$ med dess kanoniska mått $d\sigma (Z)$ .

Andra ojämlikheter

Låt $P$ vara ett homogent polynom av graden $d$ med $N$ variabler och låt $Z\in \mathbb {C} ^{N}$ . Vi har:

• $|P(Z)|\leq \|P\|\,\|Z\|_{E}^{d}$
• $\|\nabla P(Z)\|_{E}\leq d\|P\|\,\|Z\| _{E}^{d}$

där $\|\cdot \|_{E}$ betecknar den euklidiska normen.

Bombieri-normen är användbar vid polynomfaktorisering, där den har vissa fördelar jämfört med Mahlermåttet , enligt Knuth (övningar 20-21, sidorna 457-458 och 682-684).

Se även

• Grassmann grenrör
• Tåligt utrymme
• Homogent polynom
• Plücker inbäddning

•   Beauzamy, Bernard; Bombieri, Enrico ; Enflo, Per ; Montgomery, Hugh L. (1990). "Produkter av polynom i många variabler" (PDF) . Tidskrift för talteori . 36 (2): 219–245. doi : 10.1016/0022-314X(90)90075-3 . hdl : 2027.42/28840 . MR 1072467 .
•    Beauzamy, Bernard; Enflo, Per ; Wang, Paul (oktober 1994). "Kvantitativa uppskattningar för polynom i en eller flera variabler: Från analys och talteori till symbolisk och massivt parallell beräkning" ( PDF) . Matematiktidningen . 67 (4): 243–257. doi : 10.2307/2690843 . JSTOR 2690843 . MR 1300564 .
•    Bombieri, Enrico ; Gubler, Walter (2006). Höjder i diofantisk geometri . Cambridge U. P. ISBN 0-521-84615-3 . MR 2216774 .
•    Knuth, Donald E. (1997). " 4.6.2 Faktorisering av polynom ". Seminumeriska algoritmer . Konsten att programmera datorer . Vol. 2 (tredje upplagan). Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. s. 439–461, 678–691. ISBN 0-201-89684-2 . MR 0633878 .