Blaschkes urvalssats

Blaschkes urvalssats är ett resultat i topologi och konvex geometri om sekvenser av konvexa mängder . Specifikt, givet en sekvens $\{K_{n}\}$ av konvexa mängder som ingår i en begränsad mängd , garanterar satsen att det finns en undersekvens $\{K_{ n_{m}}\}$ och en konvex uppsättning $K$ så att $K_{n_{m}}$ konvergerar till $K$ i Hausdorff-metriken . Satsen är uppkallad efter Wilhelm Blaschke .

Alternativa uttalanden

• Ett kortfattat uttalande av satsen är att det metriska utrymmet för konvexa kroppar är lokalt kompakt .
• Genom att använda Hausdorff-måttet på set har varje oändlig samling av kompakta delmängder av enhetskulan en gränspunkt (och den gränspunkten är i sig en kompakt uppsättning ).

Ansökan

Som ett exempel på dess användning kan det isoperimetriska problemet visas ha en lösning. Det vill säga att det finns en kurva med fast längd som omsluter den maximala möjliga arean. Andra problem kan också visa sig ha en lösning:

• Lebesgues universella täckningsproblem för ett konvext universellt skydd av minimal storlek för insamling av alla uppsättningar i enhetsdiameterplanet,
• problemet med maximal inkludering,
• och Mosers maskproblem för ett konvext universalhölje av minimal storlek för insamling av plana kurvor av enhetslängd.

Anteckningar

• AB Ivanov (2001) [1994], "Blaschkes urvalssats" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• VA Zalgaller (2001) [1994], "Metric space of convex sets" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
•   Kai-Seng Chou; Xi-Ping Zhu (2001). Problemet med kurvförkortning . CRC Tryck. sid. 45. ISBN 1-58488-213-1 .