Bivariant teori

Inom matematiken introducerades en bivariant teori av Fulton och MacPherson ( Fulton & MacPherson 1981), för att sätta en ringstruktur på Chow-gruppen av en singulär sort , den resulterande ringen kallas en operationell Chow-ring .

På tekniska nivåer är en bivariant teori en blandning av en homologiteori och en kohomologiteori . I allmänhet är en homologiteori en kovariant funktionator från kategorin utrymmen till kategorin abelska grupper , medan en kohomologiteori är en kontravariant funktionator från kategorin (fina) utrymmen till kategorin ringar. En bivariant teori är en funktion både samvariant och kontravariant; därav namnet "bivariant".

Definition

Till skillnad från en homologiteori eller en kohomologiteori definieras en bivariant klass för en karta, inte ett mellanslag.

Låt $f:X\to Y$ vara en karta. För en sådan karta kan vi betrakta fibertorget

{\begin{matrix}X'&\to &Y'\\\downarrow &&\downarrow \\X&\to &Y\end{matrix}}

(till exempel en sprängning.) Intuitivt kan övervägandet av alla fiberkvadrater som ovan ses som en approximation av kartan f {\ $f}$ .

Nu är en birational klass av $f$ en familj av grupphomomorfismer indexerade av fiberkvadrarna:

A_{k}Y'\to A_{kp}X'

som uppfyller vissa kompatibilitetsvillkor.

Operationell Chow-ring

Grundfrågan var om det finns en cykelkarta:

A^{*}(X)\till \operatörsnamn {H} ^{*}(X,\mathbb {Z} ).

Om X är jämn, existerar en sådan karta eftersom $A^{*}(X)$ är den vanliga Chow-ringen för X . ( Totaro 2014 ) har visat att det rationellt sett inte finns en sådan karta med bra egenskaper även om X är en linjär sort, ungefär en sort som medger en cellnedbrytning. Han noterar också att Voevodskys motiviska kohomologiring är "förmodligen mer användbar" än den operativa Chow-ringen för ett singulart schema (§ 8 i loc. cit.)