Biskop–Gromov ojämlikhet

Inom matematik är ojämlikheten biskop –Gromov en jämförelsesats i Riemannsk geometri, uppkallad efter Richard L. Bishop och Mikhail Gromov . Det är nära besläktat med Myers' teorem och är nyckelpunkten i beviset för Gromovs kompakthetsteorem .

Påstående

Låt $M$ vara ett komplett n -dimensionellt Riemann-grenrör vars Ricci-kurvatur uppfyller den nedre gränsen

$\mathrm {Ric} \geq (n-1)K$

för en konstant $K\in \mathbb {R}$ . Låt $M_{K}^{n}$ vara det fullständiga n -dimensionella enkelt anslutna utrymmet av konstant tvärsnittskurvatur $K$ (och därmed konstant Ricci-kurvatur ${\ visningsstil (n-1)K}$ ); sålunda är $M_{K}^{n}$ n - sfären med radie $1/{\sqrt {K}}$ om $K>0$ , eller n -dimensionellt euklidiskt rymd om $K=0$ , eller en lämpligt omskalad version av n -dimensionell hyperbolisk rymd om $K<0$ . Beteckna med $B(p,r)$ kulan med radien r runt en punkt p , definierad med avseende på den riemannska avståndsfunktionen .

Sedan, för alla $p\in M$ och ${\displaystyle p_{K}\in M_{K}^{n}},$ funktionen

$\phi (r)={\frac {\mathrm {Vol} \,B(p,r) }{\mathrm {Vol} \,B(p_{K},r)}}$

är icke-ökande på $(0,\infty )$ .

När r går till noll närmar sig förhållandet ett, så tillsammans med monotoniteten innebär detta det

$\mathrm {Vol} \,B(p,r)\leq \mathrm {Vol} \,B(p_{K},r).$

Detta är den version som först bevisades av Bishop.

Se även

• Jämförelsesats
• Gromovs ojämlikhet (disambiguation)