Bertrands boxparadox

För andra paradoxer av Joseph Bertrand, se Bertrands paradox (disambiguation) .

Paradoxen börjar med tre lådor, vars innehåll till en början är okänt

Bertrands boxparadox är en veridisk paradox inom elementär sannolikhetsteori . Det ställdes först av Joseph Bertrand i hans 1889 arbete Calcul des Probabilités .

Det finns tre lådor:

1. en låda med två guldmynt,
2. en låda med två silvermynt,
3. en låda innehållande ett guldmynt och ett silvermynt.

Frågan är att beräkna sannolikheten, efter att ha valt en låda slumpmässigt och dragit ut ett mynt slumpmässigt, om det råkar vara ett guldmynt, att nästa mynt som dras från samma låda också är ett guldmynt.

En veridisk paradox är när den korrekta lösningen på ett pussel verkar vara kontraintuitiv. Det men kan verka intuitivt att sannolikheten att det återstående myntet är guld ska vara 2/3 1/2 , sannolikheten är faktiskt . Detta är dock inte paradoxen Bertrand hänvisade till. Han visade att om 1/2 vara 1/2 var korrekt skulle det leda till en motsägelse, så kan inte . korrekt

Detta enkla men kontraintuitiva pussel används som ett standardexempel i undervisning i sannolikhetsteori. Lösningen illustrerar några grundläggande principer, inklusive Kolmogorovs axiom .

Lösning

Bertrands boxparadox: de tre lika sannolika utfallen efter den första guldmyntdragningen. Sannolikheten att dra ytterligare ett guldmynt från samma låda är 0 i (a) och 1 i (b) och (c). Således är den totala sannolikheten att dra ett guldmynt i den andra dragningen 0 / 3 + 1 / 3 + 1 / 3 = 2 / 3 .

Problemet kan omformuleras genom att beskriva lådorna som att var och en har en låda på var och en av två sidor. Varje låda innehåller ett mynt. En låda har ett guldmynt på varje sida ( GG ), en ett silvermynt på varje sida ( SS ), och den andra ett guldmynt på ena sidan och ett silvermynt på den andra ( GS ). En låda väljs slumpmässigt, en slumpmässig låda öppnas och ett guldmynt finns inuti den. Hur stor är chansen att myntet på andra sidan är guld?

Följande felaktiga resonemang verkar ge en sannolikhet 1/2 : på

• Ursprungligen var det lika troligt att alla tre lådorna skulle väljas.
• Den valda boxen kan inte vara box SS .
• Så det måste vara box GG eller GS .
• De två återstående möjligheterna är lika troliga. Så sannolikheten att lådan är GG , och det andra myntet också är guld, är 1/2 .

Felet är i det sista steget. Även om dessa två fall ursprungligen var lika sannolika, betyder det faktum att du är säker på att hitta ett guldmynt om du hade valt GG- lådan , men är bara 50 % säker på att hitta ett guldmynt om du hade valt GS- lådan, att de är inte längre lika troligt med tanke på att du har hittat ett guldmynt. Specifikt:

• Sannolikheten att GG skulle producera ett guldmynt är 1.
• Sannolikheten att SS skulle producera ett guldmynt är 0.
• Sannolikheten att GS skulle producera 1/2 . ett guldmynt är

Inledningsvis $GG$ GG , SS och GS lika sannolika . Därför, enligt Bayes regel, är den villkorade sannolikheten att den valda rutan är GG , givet att vi har observerat ett guldmynt:

$\mathrm {P(GG\mid se\ guld)={\frac {P(se\ guld\mitten GG)\ gånger {\frac {1}{3}}}{P(se\ guld\mitten GG)\ gånger { \frac {1}{3}}+P(se\ guld\midt SS)\ gånger {\frac {1}{3}}+P(se\ guld\midt GS)\ gånger {\frac {1}{ 3}}}}} ={\frac {\frac {1}{3}}{\frac {1}{3}}}\ gånger {\frac {1}{1+0+{\frac {1} {2}}}}={\frac {2}{3}}$

Rätt svar på 2/3 kan : också erhållas enligt följande

• Ursprungligen var det lika troligt att alla sex mynten skulle väljas.
• Det valda myntet kan inte komma från låda S i låda GS , eller från någon av lådan i låda SS .
• Så det måste komma från G -lådan i låda GS , eller någon av lådan i låda GG .
• möjligheterna är lika sannolika 2/3 . , så sannolikheten att lådan är från box GG är

den 2/3 av valda lådan har två mynt av samma typ gångerna. Så, oavsett vilken sorts mynt som finns i den valda lådan, har lådan två mynt av den typen 2/3 av gångerna . Problemet är med andra ord likvärdigt med att ställa frågan "Vad är sannolikheten att jag väljer en låda med två mynt av samma färg?".

Bertrands poäng med att konstruera detta exempel var att visa att det inte alltid är korrekt att bara räkna fall. Istället bör man summera sannolikheterna för att fallen skulle ge det observerade resultatet; och de två metoderna är likvärdiga endast om denna sannolikhet är antingen 1 eller 0 i varje fall. Detta villkor tillämpas korrekt i den andra lösningsmetoden, men inte i den första.

Paradoxen enligt Bertrand

Det kan vara lättare att förstå varför . Efter 1/2 är felaktigt, om man betänker paradoxen som Bertrand använde 2/3 att en låda har valts , men innan en låda öppnas, är det sannolikhet att lådan har två av samma sorts mynt. Så om du sedan väljer en låda slumpmässigt, innan 2/3 du öppnar den är sannolikheten att den andra lådan har samma sorts mynt . Att öppna lådan som du valde kan inte ändra det.

Experimentella data

1/2 i psykologi som gick en inledande sannolikhetskurs, svarade 35 felaktigt ; endast 2/3 . 3 elever svarade korrekt

Relaterade problem

Andra sannolikhetsparadoxer inkluderar:

• Pojke eller flicka paradox
• Monty Hall problem
• Problem med tre fångar
• Problem med två kuvert
• Törnrosa problem

Problemen med Monty Hall och Three Prisoners är matematiskt identiska med Bertrands Box-paradox. Konstruktionen av pojke- eller flickparadoxen är liknande, i huvudsak lägga till en fjärde låda med ett guldmynt och ett silvermynt. Dess svar är kontroversiellt, baserat på hur man antar att "lådan" valdes.

•   Nickerson, Raymond (2004). Cognition and Chance: The psychology of probabilistic reasoning , Lawrence Erlbaum. Ch. 5, "Några lärorika problem: Tre kort", s. 157–160. ISBN 0-8058-4898-3
• Michael Clark, Paradoxer från A till Ö, sid. 16;
• Howard Margolis, Wason, Monty Hall och Adverse Defaults .

externa länkar

• Uppskattning av sannolikheten med slumpmässiga rutor och namn, en simulering